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近世代数 版权信息
- ISBN：9787030742766
- 条形码：9787030742766 ; 978-7-03-074276-6
- 装帧：一般胶版纸
- 册数：暂无
- 重量：暂无
- 所属分类：>
近世代数 内容简介
本书系统介绍了群、环、域等三种代数系统的基本理论、性质和研究方法.本书参考了大量国内外相关教材、专著、论文文献,并结合作者多年来在近世代数教学中的实践经验编写而成.全书共五章,第1章是基础知识.第2、3和第4章包含了群、环和域的基本内容.第5章对环做了进一步的讨论.每节都配有适量的习题,其题量和难度都比较适中.本书脉络清晰,内容深入浅出,通俗易懂.
近世代数 目录
目录
序言
前言
第1章 基础知识 1
1.1 集合 1
1.2 映射 3
1.3 等价关系与划分 7
1.4 代数运算与运算律 10
1.5 同态与同构 14
第2章 群论 17
2.1 群的定义 18
2.2 子群 25
2.3 循环群 30
2.4 置换群 36
2.5 陪集与拉格朗日定理 40
2.6 正规子群和商群 47
2.7 群同态基本定理 52
2.8 群的同构定理 58
第3章 环 64
3.1 基本概念 64
3.1.1 环的定义 64
3.1.2 环的性质 66
3.1.3 环的一些例子 68
3.2 整环、除环与域 71
3.2.1 零因子 71
3.2.2 单位 72
3.2.3 整环、除环和域的异同 75
3.3 子环 77
3.3.1 子环 77
3.3.2 特征 79
3.4 理想 80
3.4.1 概念和性质 80
3.4.2 主理想 82
3.4.3 商环 84
3.5 素理想与极大理想 86
3.5.1 素理想 86
3.5.2 极大理想 87
3.6 环的同态与同构 89
3.6.1 环的同态与同构的概念 89
3.6.2 环的同态与同构定理 91
3.6.3 环同态的应用 92
3.7 直和与分解 94
3.7.1 直和 94
3.7.2 中国剩余定理 96
3.8 分式域 99
3.9 多项式环 102
3.9.1 定义与性质 102
3.9.2 根与不可约 105
3.10 交换环中的因子分解 108
3.10.1 定义 108
3.10.2 唯一分解整环 110
3.10.3 欧氏环 113
第4章 域 116
4.1 扩域与素域 116
4.1.1 素域 116
4.1.2 扩域的结构 118
4.2 单扩域 122
4.3 代数扩域 127
4.3.1 向量空间 127
4.3.2 代数扩域 128
4.4 多项式的分裂域 132
4.5 有限域 137
第5章 环的进一步讨论 142
5.1 伽罗瓦环GR（4m） 142
5.2 有限域上多项式环的理想 147
参考文献 154
序言
前言
第1章 基础知识 1
1.1 集合 1
1.2 映射 3
1.3 等价关系与划分 7
1.4 代数运算与运算律 10
1.5 同态与同构 14
第2章 群论 17
2.1 群的定义 18
2.2 子群 25
2.3 循环群 30
2.4 置换群 36
2.5 陪集与拉格朗日定理 40
2.6 正规子群和商群 47
2.7 群同态基本定理 52
2.8 群的同构定理 58
第3章 环 64
3.1 基本概念 64
3.1.1 环的定义 64
3.1.2 环的性质 66
3.1.3 环的一些例子 68
3.2 整环、除环与域 71
3.2.1 零因子 71
3.2.2 单位 72
3.2.3 整环、除环和域的异同 75
3.3 子环 77
3.3.1 子环 77
3.3.2 特征 79
3.4 理想 80
3.4.1 概念和性质 80
3.4.2 主理想 82
3.4.3 商环 84
3.5 素理想与极大理想 86
3.5.1 素理想 86
3.5.2 极大理想 87
3.6 环的同态与同构 89
3.6.1 环的同态与同构的概念 89
3.6.2 环的同态与同构定理 91
3.6.3 环同态的应用 92
3.7 直和与分解 94
3.7.1 直和 94
3.7.2 中国剩余定理 96
3.8 分式域 99
3.9 多项式环 102
3.9.1 定义与性质 102
3.9.2 根与不可约 105
3.10 交换环中的因子分解 108
3.10.1 定义 108
3.10.2 唯一分解整环 110
3.10.3 欧氏环 113
第4章 域 116
4.1 扩域与素域 116
4.1.1 素域 116
4.1.2 扩域的结构 118
4.2 单扩域 122
4.3 代数扩域 127
4.3.1 向量空间 127
4.3.2 代数扩域 128
4.4 多项式的分裂域 132
4.5 有限域 137
第5章 环的进一步讨论 142
5.1 伽罗瓦环GR（4m） 142
5.2 有限域上多项式环的理想 147
参考文献 154
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近世代数 节选
**章基础知识 本章主要介绍近世代数中需要用到的基本概念，对熟悉高等代数的人来说，这些概念并不陌生.为了照顾到更多的读者，我们这里仍然介绍一下. 1.1集合 集合是数学中*基本的概念之一，是研究现代数学的基础.我们把若干个(可 以是有限个或者无限个)特定的对象组成的全体叫做集合(set)，这些对象称为集合中的元素(element)或简称元. 元素与集合的关系一般是属于和不属于.在本书中，习惯用大写字母来表示 集合，小写字母表示元素，例如元素a属于集合A，记作.符号2表示属于，对应的/2表示不属于(有些书中用2表示).对于一些典型的集合，有固定的符号来表示，比如所有自然数、整数、有理数、实数和复数组成的集合分别记为N、Z、Q、R和C. 给出一个集合一般有两种表示方法：一种是列举出这个集合中的所有元素，称为列举法(enumeration method);另一种是描述出这个集合中元素所具有的特征性质，称为描述法(descriptive method).例如，由数组成的集合可以记为，即列举出了该集合的所有元素;而我们知道也是方程的两个根，所以集合又可以表示为. 不包含任何元素的集合称为空集(empty set)，记为.相对应地，如果一个集合包含了所有要讨论的元素，那么称这个集合为全集(universal set)，记为U. 除了前面提到的元素与集合之间的关系，集合与集合之间也有一定的关系.如果两个集合A，B含有的元素完全相同，那么称这两个集合相等，记为 如果集合A中的元素全是集合B中的元素，那么称A是B的子集(subset)， 记为 当A不是B的子集时，记为.如果，而且B中还包含其他不属于A的元素，那么称A是B的真子集(proper subset)，记为. 规定空集是任何集合的子集.显然，如果两个集合A，B同时满足和，那么这两个集合相等，即A=B.这是证明两个集合相等的一个一般方法. 我们一般用符号表示集合A中所含元素的个数，即集合的大小.如果集合A中含有无限多个元素，记;如果集合A中包含n个元素，那么记. 幂集(power set)是由一个集合的所有子集组成的集合.一个集合A的幂集，通常记为P(A).如果，那么 集合与集合之间可以定义一定的运算关系，它们通常指集合的交、并、差、补. 定义1.1.1设A，B为两集合. 由A和B所有共同的元素组成的集合称为A与B的交集(intersection set)，简称A与B的交，记作，即 由所有属于A或属于B的元素组成的集合称为A与B的并集(union set)，简称A与B的并，记作A[B，即 例1.1.1设集合，那么 定义1.1.2对集合A，B，称为集合A与B的差集(differenceset). 在例1.1.1中，A与B的差集为.特别地，当时，用Bc表示，称为B(关于A)的补集(complementary set).对集合的交与并有以下性质，证明留给读者. 性质1.1.3(1) (2) (3) (4) 习题1.1 1.证明： 2.证明： 3.(德 摩根律)证明： 4.A，B两集合的对称差集(或环和)定义为 记作A△B.证明： 5.证明： (1) (2) 1.2映射 同集合一样，映射是数学中另一较为基础的概念.中学阶段所研究的函数是一种映射，这里所讲的映射事实上就是函数的一种推广. 定义1.2.1 与函数相比较，上述定义中的集合A就是函数的定义域，a，b分别对应自变量和因变量.需要注意的是，函数的值域是包含在集合B中的，它们并不一定相等. 例1.2.1设，法则f如下： 则f是A到B的一个映射. 例1.2.2设A是全体整数的集合，B是全体偶数的集合，定义 则f是A到B的一个映射. 例1.2.3设A是非负实数集，B是实数集.对任意，那么对应关系f不是A到B的映射.因为当时，不能由x唯一确定. 定义1.2.2设f是集合A到B的一个映射. 若对于任何b2B，都存在a2A，使得f(a)=b，则称f为集合A到B的一个满射(surjection)(映上的). 若对任意a，且，都有，则称f为集合A到B的一个单射(injection)(1-1的). 若f既是满射又是单射，则称映射f为集合A到B的一个双射(bijection)(一一对应). 例1.2.4上述例1.2.1及例1.2.2中映射f均是双射. 例1.2.5设A是数域F上全体n阶方阵组成的集合，集合.对矩阵，r表示矩阵M的秩，那么法则 是一个满射，但不是单射. 例1.2.6设A是非负实数集. 证明f是一个双射. 证明 因此f是满射. 又对任意，如果，即 那么.因此f是单射.综上所述，f是双射. 对有限集合A，B，如果它们的大小相等，即jAj=jBj，并且存在映射，那么 这是用来说明一个映射是双射的常用方法，证明过程留给读者. 下面介绍映射的合成. 定义1.2.3设映射以及，那么它们可以通过连续作用得到一个从A到C的映射 例1.2.7 则合成映射为 注意到这里无意义. 例1.2.8设f，g都是实数集R到R的映射，且 那么，也都是R到R的映射，且 显然，.因此，即使当合成映射，性质1.2.4 即映射的合成满足结合律. 证明 定义1.2.5 定义1.2.6 定理1.2.7 证明若f是双射，则对任意，都存在唯一的，使得f(a)=b. 例1.2.9由定理1.2.7可知，例1.2.6中映射f有逆映射.并且容易验证，其逆映射为
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