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无穷区间上常微分方程边值问题 版权信息
- ISBN：9787030709011
- 条形码：9787030709011 ; 978-7-03-070901-1
- 装帧：一般胶版纸
- 册数：暂无
- 重量：暂无
- 所属分类：>>
无穷区间上常微分方程边值问题 内容简介
本书研究无穷区间上常微分方程边值问题的非线性泛函分析理论，内容共七章,其中前两章系统介绍无穷边值问题、函数空间、非线性泛函理论的基础，第3-7章分别给出了五种方法研究二阶和高阶常微分方程、具有p-Laplace算子的微分方程、差分方程以及方程组的特征值问题、两点边值问题、多点边值问题、共振问题、周期解、次调和解和反周期解问题的研究结果.全书比较系统、详细地讨论了不同方法在不同方程中的运用.本书可作为高等院校数学专业研究生教材和教师的参考书,也可供科研工作者用数学方法解决相关问题的参考书.
无穷区间上常微分方程边值问题 目录
目录
前言
第1章 绪论 1
1.1 边值问题的起源 1
1.2 无穷边值问题举例 2
1.3 线性边值问题 9
1.3.1 线性边值问题有解的条件 9
1.3.2 Green 函数 11
1.3.3 共振边值问题 17
1.3.4 具有 p-Laplace 算子的边值问题 19
1.4 无穷边值问题的研究方法 21
1.4.1 对角延拓法 22
1.4.2 打靶法 22
1.4.3 度理论和不动点定理 23
1.4.4 Fréchet 空间的不动点定理 23
1.4.5 上下解方法 23
1.4.6 临界点理论 24
1.5 前人研究工作总结 25
第2章 基础理论 28
2.1 Arzelá-Ascoli 定理及推广 28
2.1.1 Arzelá-Ascoli 定理 28
2.1.2 Corduneanu 定理 28
2.1.3 连续可微函数族的列紧性 29
2.1.4 可积函数族的列紧性 30
2.1.5 序列族的列紧性 31
2.2 拓扑度理论 33
2.2.1 度具有的性质 33
2.2.2 Brouwer 度 33
2.2.3 Leray-Schauder 度 34
2.2.4 锥映射的拓扑度 35
2.3 不动点定理 36
2.3.1 Schauder 不动点定理 36
2.3.2 锥上的不动点定理 37
2.3.3 多不动点定理 38
2.4 连续性定理 41
2.4.1 Leray-Schauder 连续性定理 41
2.4.2 Mawhin 连续性定理 41
2.4.3 Ge-Mawhin 连续性定理 42
2.5 变分法与极值原理 43
2.5.1 非线性算子的微分 43
2.5.2 Euler-Lagrange 方程 44
2.5.3 Fenchel 变换 45
2.5.4 极值原理 46
第3章 不动点定理与非共振无穷边值问题 48
3.1 二阶微分方程 Sturm-Liouville 边值问题 48
3.1.1 Green 函数 49
3.1.2 空间与算子 50
3.1.3 正解的存在性 50
3.1.4 解的唯一性 56
3.1.5 两个正解的存在性 57
3.2 具有 p-Laplace 算子的微分方程两点边值问题 60
3.2.1 Banach 空间和锥 60
3.2.2 全连续算子 62
3.2.3 三个正解的存在性 64
3.2.4 例子 68
3.3 二阶微分方程三点边值问题 69
3.3.1 线性边值问题和 Green 函数 70
3.3.2 空间与算子 72
3.3.3 有界解的存在性 74
3.3.4 无界解的存在性 77
3.3.5 例子 78
第4章 迭合度理论与共振边值问题 79
4.1 二阶微分方程三点无穷边值问题 79
4.1.1 空间与算子 79
4.1.2 解的存在性 84
4.1.3 解的唯一性 87
4.1.4 扰动问题 89
4.1.5 例子 91
4.2 具有 p-Laplace 算子的微分方程三点边值问题 92
4.2.1 空间和算子 92
4.2.2 解的存在性 94
4.2.3 例子 98
4.3 具有 p-Laplace 算子的微分方程三点无穷边值问题 99
4.3.1 空间与算子 100
4.3.2 解的存在性 104
第5章 上下解方法与无穷边值问题 107
5.1 二阶微分方程两点边值问题 107
5.1.1 准备工作 107
5.1.2 解的存在性 108
5.1.3 正解的存在性 113
5.1.4 例子 114
5.2 二阶微分方程三点边值问题 115
5.2.1 线性边值问题和 Green 函数 115
5.2.2 解的存在性 117
5.2.3 例子 118
5.3 高阶微分方程两点边值问题 119
5.3.1 Green 函数和上下解 120
5.3.2 解的存在性 122
5.3.3 三个解的存在性 128
5.3.4 例子 131
5.4 二阶差分方程两点边值问题 133
5.4.1 线性边值问题 133
5.4.2 上下解和 Nagumo 条件 135
5.4.3 解的存在性 136
5.4.4 三个解的存在性 142
5.4.5 例子 143
第6章 对角延拓原理与无穷边值问题 144
6.1 二阶微分方程两点边值问题 144
6.1.1 正解的存在性 144
6.1.2 例子 148
6.2 二阶微分方程三点边值问题 150
6.2.1 正解的不存在性 150
6.2.2 有限边值问题正解的存在性 151
6.2.3 无穷边值问题正解的存在性 153
6.2.4 唯一性 157
6.2.5 例子 158
6.3 Fréchet 空间中的不动点定理及应用 159
6.3.1 线性边值问题 160
6.3.2 空间与算子 161
6.3.3 解的存在性 163
6.3.4 例子 164
第7章 极值原理与微分系统边值问题 166
7.1 二阶微分系统两点无穷边值问题 166
7.1.1 推广的 Sobolev 空间 166
7.1.2 解的存在性 171
7.1.3 例子 174
7.2 具有 p-Laplace 算子的微分系统的次调和解 175
7.2.1 哈密顿系统和能量泛函 176
7.2.2 Fenchel 变换和对偶原理 178
7.2.3 kT-周期解的存在性 180
7.2.4 次调和解的存在性 186
7.3 二阶差分系统的反周期解 189
7.3.1 序列空间和对偶泛函 190
7.3.2 反周期解的存在性 193
参考文献 199
索引 202
前言
第1章 绪论 1
1.1 边值问题的起源 1
1.2 无穷边值问题举例 2
1.3 线性边值问题 9
1.3.1 线性边值问题有解的条件 9
1.3.2 Green 函数 11
1.3.3 共振边值问题 17
1.3.4 具有 p-Laplace 算子的边值问题 19
1.4 无穷边值问题的研究方法 21
1.4.1 对角延拓法 22
1.4.2 打靶法 22
1.4.3 度理论和不动点定理 23
1.4.4 Fréchet 空间的不动点定理 23
1.4.5 上下解方法 23
1.4.6 临界点理论 24
1.5 前人研究工作总结 25
第2章 基础理论 28
2.1 Arzelá-Ascoli 定理及推广 28
2.1.1 Arzelá-Ascoli 定理 28
2.1.2 Corduneanu 定理 28
2.1.3 连续可微函数族的列紧性 29
2.1.4 可积函数族的列紧性 30
2.1.5 序列族的列紧性 31
2.2 拓扑度理论 33
2.2.1 度具有的性质 33
2.2.2 Brouwer 度 33
2.2.3 Leray-Schauder 度 34
2.2.4 锥映射的拓扑度 35
2.3 不动点定理 36
2.3.1 Schauder 不动点定理 36
2.3.2 锥上的不动点定理 37
2.3.3 多不动点定理 38
2.4 连续性定理 41
2.4.1 Leray-Schauder 连续性定理 41
2.4.2 Mawhin 连续性定理 41
2.4.3 Ge-Mawhin 连续性定理 42
2.5 变分法与极值原理 43
2.5.1 非线性算子的微分 43
2.5.2 Euler-Lagrange 方程 44
2.5.3 Fenchel 变换 45
2.5.4 极值原理 46
第3章 不动点定理与非共振无穷边值问题 48
3.1 二阶微分方程 Sturm-Liouville 边值问题 48
3.1.1 Green 函数 49
3.1.2 空间与算子 50
3.1.3 正解的存在性 50
3.1.4 解的唯一性 56
3.1.5 两个正解的存在性 57
3.2 具有 p-Laplace 算子的微分方程两点边值问题 60
3.2.1 Banach 空间和锥 60
3.2.2 全连续算子 62
3.2.3 三个正解的存在性 64
3.2.4 例子 68
3.3 二阶微分方程三点边值问题 69
3.3.1 线性边值问题和 Green 函数 70
3.3.2 空间与算子 72
3.3.3 有界解的存在性 74
3.3.4 无界解的存在性 77
3.3.5 例子 78
第4章 迭合度理论与共振边值问题 79
4.1 二阶微分方程三点无穷边值问题 79
4.1.1 空间与算子 79
4.1.2 解的存在性 84
4.1.3 解的唯一性 87
4.1.4 扰动问题 89
4.1.5 例子 91
4.2 具有 p-Laplace 算子的微分方程三点边值问题 92
4.2.1 空间和算子 92
4.2.2 解的存在性 94
4.2.3 例子 98
4.3 具有 p-Laplace 算子的微分方程三点无穷边值问题 99
4.3.1 空间与算子 100
4.3.2 解的存在性 104
第5章 上下解方法与无穷边值问题 107
5.1 二阶微分方程两点边值问题 107
5.1.1 准备工作 107
5.1.2 解的存在性 108
5.1.3 正解的存在性 113
5.1.4 例子 114
5.2 二阶微分方程三点边值问题 115
5.2.1 线性边值问题和 Green 函数 115
5.2.2 解的存在性 117
5.2.3 例子 118
5.3 高阶微分方程两点边值问题 119
5.3.1 Green 函数和上下解 120
5.3.2 解的存在性 122
5.3.3 三个解的存在性 128
5.3.4 例子 131
5.4 二阶差分方程两点边值问题 133
5.4.1 线性边值问题 133
5.4.2 上下解和 Nagumo 条件 135
5.4.3 解的存在性 136
5.4.4 三个解的存在性 142
5.4.5 例子 143
第6章 对角延拓原理与无穷边值问题 144
6.1 二阶微分方程两点边值问题 144
6.1.1 正解的存在性 144
6.1.2 例子 148
6.2 二阶微分方程三点边值问题 150
6.2.1 正解的不存在性 150
6.2.2 有限边值问题正解的存在性 151
6.2.3 无穷边值问题正解的存在性 153
6.2.4 唯一性 157
6.2.5 例子 158
6.3 Fréchet 空间中的不动点定理及应用 159
6.3.1 线性边值问题 160
6.3.2 空间与算子 161
6.3.3 解的存在性 163
6.3.4 例子 164
第7章 极值原理与微分系统边值问题 166
7.1 二阶微分系统两点无穷边值问题 166
7.1.1 推广的 Sobolev 空间 166
7.1.2 解的存在性 171
7.1.3 例子 174
7.2 具有 p-Laplace 算子的微分系统的次调和解 175
7.2.1 哈密顿系统和能量泛函 176
7.2.2 Fenchel 变换和对偶原理 178
7.2.3 kT-周期解的存在性 180
7.2.4 次调和解的存在性 186
7.3 二阶差分系统的反周期解 189
7.3.1 序列空间和对偶泛函 190
7.3.2 反周期解的存在性 193
参考文献 199
索引 202
展开全部
无穷区间上常微分方程边值问题 节选
第1章 绪论 在科学技术和实际生产问题中提出的常微分方程都有定解条件， 一类是由初始条件作约束的， 称为初值问题， 也叫做柯西问题; 另一类是由边界条件作约束的，称为边值问题. 本书主要介绍半无穷区间上常微分方程边值问题， 简称无穷边值问题， 或进一步简称为边值问题. 1.1 边值问题的起源 常微分方程边值问题是微分方程研究中的一类基本问题， 其相关理论可追溯到微积分学建立的*初阶段. 1690 年， 瑞士数学家雅各布 伯努利 (Jacob Bernoulli) 提出了著名的悬链线问题 [1]: 一根柔软但不能伸长的绳子自由悬挂于两定点(a，A)， (b，B)，求绳子在重力作用下形成的曲线. 次年， 莱布尼茨 (Gottfried Wilhelm Leibniz) 等数学家给出了解答， 建立了常微分方程边值问题模型 (1.1) 其中， ρ 是绳子的线密度， g 是重力加速度， h 是绳子*低点受水平向左的拉力. (1.1) 就是一个二阶非线性常微分方程两点边值问题. 另一个著名的例子是约翰伯努利 (John Bernoulli) 在 1696 年提出的*速降线问题 [2]: 求一给定点到不是在它垂直下方的另一个点的一条曲线， 使得一质点在仅受重力作用的条件下， 沿这条曲线下滑所用的时间*短. 随后， 牛顿 (Isaac Newton)、莱布尼茨和伯努利兄弟等数学家都发现了摆线是*速降线. 不妨建立直角坐标系， 使得两定点坐标分别为 (0， 0) 和 (x1， y1)， 其中 x1 > 0， y1 0 是膜中心的高度. 迪基给出了径向对称变形状态模型， 其无量纲化的径向应力 Sr 满足常微分方程边值问题 (1.17) 这里， λ 和 β 是依赖于压力、膜的厚度和杨氏模量的正常数， b0 > 0， b1 . 0. 对于径向位移问题， b0 = 1， b1 = 0， A > 0; 对于径向应力问题， b0 = 1 ν， b1 = 1， A是任意实数， ν 2 (0， 0.5) 是泊松比. 做变换 t = r.2， u(t) = Sr(r)， 那么 (1.17) 就转换为有界， (1.18) 其中 a0 = b0， a1 = 2b1. 这是半无穷区间上二阶非线性常微分方程 Sturm-Liouville型边值问题. 例 1.8 贝雷斯基 (H. Berestycki) 等 [23] 在研究椭圆型微分方程组径向对称解时， 建立了无穷边值问题 (1.19) 这里 r = jxj 是径向坐标. 微分方程在 r = 0 有奇性， 因为 例 1.9 在研究渗流力学问题中， 也有无穷边值问题的例子. 例如考虑厚度为h、宽为 w 的均质无限延伸地层， 有一流量为 q 的点汇， 生产出黏度为 μ、体积系数为 B 的流体 (如石油， 天然气等)， 初始地层压力为 p0. 考虑一维线性达西渗流，那么， 井壁压力 p = p(x， t) 满足偏微分方程初边值问题
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