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高等代数 版权信息
- ISBN：9787030692900
- 条形码：9787030692900 ; 978-7-03-069290-0
- 装帧：一般胶版纸
- 册数：暂无
- 重量：暂无
- 所属分类：>>
高等代数 内容简介
本书内容主要包括一元多项式理论、矩阵及其运算、线性方程组理论、线性空间及其线性变换、相似不变量与相似标准形、欧氏空间与二次型理论。本书力求理清高等代数相关概念与定理产生的历史背景与科学动机, 强调几何直观与代数方法的有机结合, 使抽象概念、理论可视化, 并适当拓展高等代数理论在现代科技、工程、经济等领域应用背景的介绍, 注重数学文化的渗透与科学思维方法的训练。
高等代数 目录
目录
前言
第1章 预备知识 1
1.1 数域 1
1.2 连加号 3
1.3 数学归纳法 4
1.4 一元多项式的概念 5
1.5 整除 7
1.6 *大公因式 11
1.7 韦达定理 16
1.8 等价关系 16
第2章 矩阵 19
2.1 矩阵及其运算 19
2.2 分块矩阵 30
2.3 行列式 35
2.4 n阶行列式的性质 44
2.5 行列式的计算 49
2.6 行列式按一行(列)展开 54
2.7 可逆矩阵 60
2.8 初等矩阵与矩阵的逆 65
2.9 克拉默法则 72
2.10 矩阵的秩 80
复习题2 87
第3章 线性空间 90
3.1 消元法解线性方程组 90
3.2 线性空间的定义与基本性质 103
3.3 线性表示 111
3.4 向量组的线性相关性 116
3.5 向量组的秩和极大无关组 124
3.6 向量组的秩与矩阵的秩 128
3.7 基、维数与坐标 131
3.8 基变换与坐标变换 138
3.9 线性子空间 147
3.10 线性方程组解的结构 153
3.10.1 齐次线性方程组解的结构 154
3.10.2 非齐次线性方程组解的结构 158
3.11 子空间的交与和 167
3.12 子空间的直和 175
复习题3 179
第4章 多项式 182
4.1 因式分解定理 182
4.2 重因式与多项式函数 185
4.3 复系数与实系数多项式的因式分解 189
4.4 有理系数多项式 191
复习题4 195
第5章 线性变换 196
5.1 线性映射 196
5.2 线性空间的同构 203
5.3 线性变换的运算 205
5.4 线性变换的值域与核 208
5.5 线性变换的矩阵表示 214
5.6 相似矩阵 227
5.7 特征值与特征向量I:定义与求法 232
5.8 特征值与特征向量II:性质 240
5.9 相似对角化 245
5.10 不变子空间 252
5.11 凯莱-哈密顿定理与极小多项式 256
复习题5 262
第6章 相似不变量与相似标准形 265
6.1 λ-矩阵的相抵标准形 265
6.2 矩阵相似的条件 270
6.3 不变因子与弗罗贝尼乌斯标准形 273
6.4 初等因子 279
6.5 若尔当标准形 283
6.6 线性空间的分解 291
6.6.1 基于弗罗贝尼乌斯标准形的分解 291
6.6.2 基于若尔当标准形的分解 294
复习题6 298
第7章 欧氏空间 299
7.1 内积与欧氏空间 299
7.2 标准正交基 310
7.3 正交矩阵 320
7.4 正交变换 322
7.5 对称矩阵与对称变换 327
7.6 正交补与正交投影 339
7.7 *小二乘法 347
复习题7 351
第8章 二次型 352
8.1 二次型及其矩阵表示 352
8.2 标准形 355
8.3 规范形 365
8.4 正定二次型 371
8.5 极分解与奇异值分解 377
复习题8 381
部分习题简答 384
前言
第1章 预备知识 1
1.1 数域 1
1.2 连加号 3
1.3 数学归纳法 4
1.4 一元多项式的概念 5
1.5 整除 7
1.6 *大公因式 11
1.7 韦达定理 16
1.8 等价关系 16
第2章 矩阵 19
2.1 矩阵及其运算 19
2.2 分块矩阵 30
2.3 行列式 35
2.4 n阶行列式的性质 44
2.5 行列式的计算 49
2.6 行列式按一行(列)展开 54
2.7 可逆矩阵 60
2.8 初等矩阵与矩阵的逆 65
2.9 克拉默法则 72
2.10 矩阵的秩 80
复习题2 87
第3章 线性空间 90
3.1 消元法解线性方程组 90
3.2 线性空间的定义与基本性质 103
3.3 线性表示 111
3.4 向量组的线性相关性 116
3.5 向量组的秩和极大无关组 124
3.6 向量组的秩与矩阵的秩 128
3.7 基、维数与坐标 131
3.8 基变换与坐标变换 138
3.9 线性子空间 147
3.10 线性方程组解的结构 153
3.10.1 齐次线性方程组解的结构 154
3.10.2 非齐次线性方程组解的结构 158
3.11 子空间的交与和 167
3.12 子空间的直和 175
复习题3 179
第4章 多项式 182
4.1 因式分解定理 182
4.2 重因式与多项式函数 185
4.3 复系数与实系数多项式的因式分解 189
4.4 有理系数多项式 191
复习题4 195
第5章 线性变换 196
5.1 线性映射 196
5.2 线性空间的同构 203
5.3 线性变换的运算 205
5.4 线性变换的值域与核 208
5.5 线性变换的矩阵表示 214
5.6 相似矩阵 227
5.7 特征值与特征向量I:定义与求法 232
5.8 特征值与特征向量II:性质 240
5.9 相似对角化 245
5.10 不变子空间 252
5.11 凯莱-哈密顿定理与极小多项式 256
复习题5 262
第6章 相似不变量与相似标准形 265
6.1 λ-矩阵的相抵标准形 265
6.2 矩阵相似的条件 270
6.3 不变因子与弗罗贝尼乌斯标准形 273
6.4 初等因子 279
6.5 若尔当标准形 283
6.6 线性空间的分解 291
6.6.1 基于弗罗贝尼乌斯标准形的分解 291
6.6.2 基于若尔当标准形的分解 294
复习题6 298
第7章 欧氏空间 299
7.1 内积与欧氏空间 299
7.2 标准正交基 310
7.3 正交矩阵 320
7.4 正交变换 322
7.5 对称矩阵与对称变换 327
7.6 正交补与正交投影 339
7.7 *小二乘法 347
复习题7 351
第8章 二次型 352
8.1 二次型及其矩阵表示 352
8.2 标准形 355
8.3 规范形 365
8.4 正定二次型 371
8.5 极分解与奇异值分解 377
复习题8 381
部分习题简答 384
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高等代数 节选
1.1 数域 在生产实践或科学研究中，按照所研究的问题，我们往往需要明确规定所考虑的数的范围.在高中阶段，我们已经学习了复数及其基本性质.回顾一下，复数的集合 其中R表示实数集.复数的加、减、乘、除运算定义为 其中. 图1.1 1797年，挪威-丹麦的测量员韦塞尔(C.Wessel)赋予了复数z=a+bi明显的几何意义，它对应于复平面上的点(a，b)，如图1.1所示. 其中称为复数z的模.这里称为z的辐角.因此z又可表示为称为复数z的极坐标表示.如果，那么我们有著名的棣莫弗定理. 由此可得 命题1.1.1 在复数域中，方程的根共有n个，它们可以表示为 从而可分解为 证明设ω是的任一根，则ωn=1.设 于是.由棣莫弗定理知 从而 故 注 从上面定理中根ωk的形式可以看出，ωk为实数根当且仅当当且仅当为整数. 定义1.1.1 方程的根称为n次单位根. 定义1.1.2 设F是复数域C的一个子集，且.如果F中任意两个数的和、差、积、商(除数非零)仍然是F中的数，则称F是一个数域. 注 如果F中任意两个数在C的某种运算(加、减、乘或除)下的结果仍然在F中，则称F关于此运算封闭. 例1.1.1 (1)有理数的集合Q、实数集合R和复数集合C都构成数域，分别称为有理数域、实数域和复数域. (2)容易验证数集是一个数域，而且. 由于整数集合Z关于除法运算不封闭，因此Z并不是数域.事实上，我们可以得到下面命题. 命题1.1.2 有理数域Q是*小的数域，即如果F是任一数域，则. 证明 由于12F，归纳地，如果正整数n2F，则由加法封闭知.因此所有的正整数都属于F;又由于F关于减法封闭，则，从而所有的整数都属于F.对任意的有理数，存在整数且m6=0，使得.由于m，n2F，则它们的商，即所有的有理数都属于F.因此. 定义1.1.3 设R是复数域C的一个子集，且0，12R.如果R关于运算加、减、乘封闭，即R中任意两个元素的和、差、积仍然在R中，则称R是一个数环. 例1.1.2 整数集合Z与高斯(Gauss)整数集合都是数环. 如无特殊说明，本书中的数域F读者可理解为有理数域Q、实数域R或复数域C.F中的元素常称为标量(scalar).标量是用来表示“数”的一个词，通常用来强调一个对象是数，与后面引入的向量(vector)区分. 1.2 连加号 为了记号的方便，我们经常将若干个数连加的式子 (1.1) 简记为.这里ai表示一般项，i称为求和指标，P的上、下标表示i的取值由1到n.注意到求和指标i是可以改变的，例如(1.1)也可以记为 下面的和式 (1.2) 常简记为.在双重连加号中，一般连加号的次序可以交换，即 命题1.2.1 证明 对和式(1.2)，如果先按行求和，再将所得的行和加起来，则;如果先按列求和，再将所得的列和加起来，则. 思考 当m，n为无穷时，上述公式还成立吗？ 有时连加的数虽然是双指标求和，但相加的不是这些数的全部，而是指标满足一定条件的那些数，这时就在求和号下面写上指标所适合的条件即可.例如 我们采用连乘号表示n个数a1，a2， ，an的乘积a1a2 an. 1.3 数学归纳法 数学归纳法(mathematical induction)是一种数学证明方法，通常被用于证明某个给定命题在整个(或者局部)自然数范围内成立. 数学归纳法所依据的原理是正整数集的一个*基本性质——*小数公理.设表示非负整数集合，即自然数集，N.表示正整数集合. *小数公理 自然数集N的任意一个非空子集S必含有一个*小数，即，使得. 注 设c是任意一个整数，令.那么，以Mc代替N，*小数公理仍然成立. 由*小数公理可以得到数学归纳法原理. 定理1.3.1 (**数学归纳法原理)设有一个与正整数n有关的命题，如果 (1)当n=0时，命题成立; (2)假设n=k时命题成立，则n=k+1时命题也成立， 则命题对所有的自然数成立. 证明 假设命题不是对所有的自然数成立.令S表示所有使命题不成立的正整数的集合，则由*小数公理，S中有*小数a.因为命题当n=0时成立，所以a6=0.从而是一个自然数.因为a是S中的*小数，所以.这就是说，当时命题成立.于是由(2)，当n=a时命题也成立，即矛盾！ 注 根据上面的备注，我们可以取Mc代替N，即如果一个命题是从某个整数c开始的，只需将(1)中的n=1换成n=c，用数学归纳法证明即可. 在应用中，数学归纳法常常需要采取一些变化来适应实际的需求.例如完整归纳法(也称第二数学归纳法)，需要更强的归纳假设.可类似地证明如下定理. 定理1.3.2 (第二数学归纳法原理)设有一个与自然数n有关的命题，如果 (1)当n=0时，命题成立; (2)假设命题对所有小于k的自然数成立，则命题对n=k也成立.则命题对所有的自然数成立. 将Mc代替N，条件(1)换成n=c，其中c为任意整数，则命题对Mc成立. 1.4 一元多项式的概念 多项式是高等代数的有机组成部分，在数学、物理及工学等诸多领域有着广泛的应用.从表示论的观点来看，高等代数本质上讲的是数域F上一元多项式环F[x]的表示理论. 定义1.4.1 设x是一个符号(或文字)，n是一非负整数，F是一数域.形式表达式 (1.3) 其中，称为系数在数域F中的一元多项式，或简称为数域F上的一元多项式. (1.3)中称为多项式f(x)的k次项，ak称为k次项的系数. (1.3)中如果，则称为多项式f(x)的首项，an称为首项系数，n称为f(x)的次数，记作.(f(x))或deg(f(x)).若an=1，则f(x)称为首一多项式. 系数全为零的多项式称为零多项式，记为0.零多项式不定义次数. 注中学阶段的多项式f(x)中的变量x一般是数，而现在定义的多项式f(x)中的x仅仅是一个符号，称为未定元，可以指代数、向量、矩阵、函数甚至文字等一切符号.因此，(1.3)中的幂运算xn、数ai与幂xi的乘法运算aixi以及加法运算会随着x具体指代的不同而有不同的含义. 定义1.4.2 如果多项式f(x)和g(x)同次项的系数对应相等，则称f(x)与g(x)相等，记作f(x)=g(x). 定义1.4.3 设多项式和，则多项式的加法与乘法运算定义如下: 多项式的加法满足以下运算律: 交换律f(x)+g(x)=g(x)+f(x); 结合律(f(x)+g(x))+h(x)=f(x)+(g(x)+h(x)); 零元律f(x)+0=f(x); 负元律f(x)+(-f(x))=0. 多项式的乘法满足以下运算律: 交换律f(x)g(x)=g(x)f(x); 结合律(f(x)g(x))h(x)=f(x)(g(x)h(x)); 分配律(f(x)+g(x))h(x)=f(x)h(x)+g(x)h(x); 消去律f(x)h(x)=g(x)h(x)，h(x)6=0)f(x)=g(x). 由多项式次数的定义立即可得如下命题. 命题1.4.1 设f(x)和g(x)是数域F上的任意两个多项式，则 定义1.4.4 数域F上的一元多项式的全体，连同定义1.4.3中定义的加法和乘法运算，作成一个代数系统，称为数域F上的一元多项式环，记作F[x]. 例1.4.1 设f(x)为多项式，则f(x)=kx的充要条件为f(a+b)=f(a)+ f(b)，对于任意的a，b成立. 证明 必要性显然，下面来证明充分性.事实上，由条件 f(2x)=f(x+x)=2f(x)，
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