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概率论与数理统计-(第2版) 版权信息
- ISBN：9787302502609
- 条形码：9787302502609 ; 978-7-302-50260-9
- 装帧：一般胶版纸
- 册数：暂无
- 重量：暂无
- 所属分类：>
概率论与数理统计-(第2版) 本书特色
本书是高等教育“十三五”规划教材。第1版多个学校采用为教材。
概率论与数理统计-(第2版) 内容简介
本书共8章，分为两部分： 概率论部分（第1～5章）主要讲述了随机事件、一维及多维随机变量的分布、随机变量的数字特征、大数定律及中心极限定理等内容；统计部分（第6～8章）主要讲述了区间估计与假设检验两种统计推断方法，并简单介绍了方差分析与回归分析. 本书适用于非数学类的本专科生，也可供相关工程技术人员使用.
概率论与数理统计-(第2版) 目录
第1章随机事件及其概率1
1.1随机事件1
1.1.1随机试验1
1.1.2随机事件2
1.1.3事件之间的关系和运算2
1.1.4排列与组合4
1.2随机事件的概率5
1.2.1频率5
1.2.2概率的定义6
1.2.3概率的性质6
1.2.4古典概率模型7
1.3条件概率与事件的独立性10
1.3.1条件概率10
1.3.2乘法公式11
1.3.3事件的独立性11
1.4全概率公式和贝叶斯公式13
1.4.1全概率公式13
1.4.2贝叶斯公式13
小结14
习题115
补充与提高18
第2章随机变量及其分布19
2.1随机变量19
2.2离散型随机变量及其概率分布20
2.2.1离散型随机变量及其分布律20
2.2.2离散型随机变量的常用分布22〖1〗〖3〗目录〖1〗目录〖3〗2.3随机变量的分布函数26
2.4连续型随机变量及其概率分布29
2.4.1连续型随机变量及其概率密度29
2.4.2连续型随机变量的常用分布31
2.5随机变量的函数的分布36
2.5.1离散型随机变量的函数的分布37
2.5.2连续型随机变量的函数的分布37
小结40
习题241
补充与提高44
第3章多维随机变量及其分布45
3.1二维随机变量的联合分布45
3.1.1二维随机变量及其分布函数45
3.1.2二维离散型随机变量46
3.1.3二维连续型随机变量47
3.1.4两个常用的分布48
3.2边缘分布48
3.2.1边缘分布函数48
3.2.2离散型随机变量的边缘分布律49
3.2.3连续型随机变量的边缘概率密度50
3.3二维随机变量的条件分布52
3.3.1离散型随机变量的条件分布52
3.3.2连续型随机变量的条件分布53
3.4随机变量的独立性55
3.5二维随机变量的函数的分布58
3.5.1二维离散型随机变量的函数的分布58
3.5.2二维连续型随机变量的函数的分布59
小结62
习题363
补充与提高67
第4章随机变量的数字特征69
4.1数学期望69
4.1.1数学期望的概念69
4.1.2随机变量函数的数学期望71
4.1.3数学期望的性质74
4.2方差76
4.2.1方差的定义76
4.2.2方差的性质77
4.3几种常用分布的期望、方差78
4.4协方差与相关系数矩81
4.4.1协方差81
4.4.2相关系数81
4.4.3矩与协方差矩阵85
小结85
习题487
补充与提高89
第5章大数定律与中心极限定理91
5.1大数定律91
5.1.1切比雪夫不等式91
5.1.2大数定律92
5.2中心极限定理94
小结97
习题598
补充与提高99
第6章参数估计100
6.1总体与样本100
6.1.1总体100
6.1.2样本100
6.2统计量101
6.3常用统计量的分布102
6.3.1χ2分布102
6.3.2t分布103
6.3.3F分布103
6.3.4正态总体的统计分布104
附录105
6.4参数的点估计106
6.4.1参数的点估计的概念106
6.4.2点估计的两种常用方法106
6.4.3估计量的评选标准111
6.5区间估计113
6.5.1置信区间的概念113
6.5.2寻找置信区间的方法113
6.5.3正态总体均值与方差的置信区间115
小结119
习题6120
补充与提高122
第7章假设检验124
7.1假设检验的基本概念124
7.1.1假设检验的基本思想及做法124
7.1.2双边假设检验与单边假设检验125
7.1.3假设检验可能犯的两类错误126
7.1.4参数假设检验的步骤126
7.2正态总体参数的假设检验126
7.2.1单个正态总体参数的假设检验126
7.2.2两个正态总体参数的假设检验129
小结132
习题7133
补充与提高134
第8章方差分析与回归分析简介135
8.1单因素方差分析135
8.1.1基本概念135
8.1.2数学模型136
8.1.3统计分析137
8.2一元线性回归140
8.2.1回归的含义140
8.2.2一元线性回归140
8.2.3常用非线性回归的线性化方法146
小结147
习题8148
补充与提高149
附录A常用概率统计表151
附表A.1泊松分布表151
附表A.2标准正态分布表154
附表A.3χ2分布表155
附表A.4t分布表156
附表A.5F分布表157
附录B常用术语的汉英对照162
习题答案164
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概率论与数理统计-(第2版) 节选
第3章 多维随机变量及其分布 在第2章中,我们所讨论的随机现象只涉及了一个随机变量,但在很多随机现象中,往往要涉及多个随机变量.例如,炮弹弹着点的位置要用其横坐标X与纵坐标Y来确定;又如,健康体检时要检查身体的多项指标……,这都是多维随机变量问题.多维随机变量的性质不仅与各个随机变量有关,而且还与它们之间的相互关系有关.在本章中我们着重讨论二维随机变量. 3.1二维随机变量的联合分布〖4/5〗3.1.1二维随机变量及其分布函数定义3.1设E是一个随机试验,S={e}为它的样本空间,又设X=X(e),Y=Y(e)是定义在S上的随机变量,由它们组成的向量(X,Y)称为二维随机变量或二维随机向量. 与一维随机变量类似,可以用分布函数来讨论二维随机变量的概率分布.下面引入二维随机变量(X,Y)的分布函数的定义. 定义3.2设(X,Y)是二维随机变量,对于任意实数x,y,二元函数F(x,y)=P{(X≤x)∩(Y≤y)}defP{X≤x,Y≤y}(3.1)图31 称为二维随机变量(X,Y)的联合分布函数，简称为(X，Y)的分布函数. 如果将二维随机变量(X,Y)看成平面上随机点的坐标,那么二维随机变量(X,Y)的分布函数F(x,y)的几何意义就是随机点(X,Y)落在图31所示无穷矩形内的概率. 分布函数F(x,y)具有下列性质： (1) 0≤F(x,y)≤1,且 F(-∞,-∞)=0,F(+∞,+∞)=1. 对于任意固定的y,F(-∞,y)=0, 对于任意固定的x,F(x,-∞)=0. 上面4个式子可以从几何上加以说明.例如,在图31中无穷矩形的右面边界向左无限平移(即x→-∞),则随机点(X,Y)落在这个矩形内这一事件趋于不可能事件,故其概率趋于0,即F(-∞,y)=0；又如当x→+∞,y→+∞时,图31中的无穷矩形扩展到全平面,随机点(X,Y)落在其中这一事件趋于必然事件,故其概率趋于1,即F(+∞,+∞)=1. (2) F(x,y)对x,y分别为单调不减函数.图32 (3) F(x,y)对x,y都是右连续函数. (4) 对任意x1≤x2,y1≤y2,有F(x2,y2)-F(x2,y1)-F(x1,y2)+F(x1,y1)≥0.由分布函数的几何意义知上式为随机点(X,Y)落在图32中矩形内的概率,再由概率的非负性即得上式成立. 〖1〗〖3〗第3章多维随机变量及其分布〖1〗3.1二维随机变量的联合分布〖3〗3.1.2二维离散型随机变量 定义3.3设二维随机变量(X,Y)的所有可能取值为有限对或可列无限多对,则称(X,Y)为二维离散型随机变量. 定义3.4设二维离散型随机变量(X,Y)的所有可能取值为(xi,yj)i,j=1,2,…,而P{X=xi,Y=yj}=pij,i,j=1,2,….(3.2)则称式(3.2)为随机变量(X,Y)的联合分布律，简称为(X，Y)的分布律. 上述(X,Y)的分布律也可写成如下表格的形式:Y Xy1y2…yj…x1p11p12…p1j…x2p21p22…p2j…xipi1pi2…pij…显然,联合分布律满足pij≥0,i,j=1,2,…;∑∞i=1∑∞j=1pij=1. 例1一整数X等可能地在1,2,3,4中取值,另一整数Y等可能地在1～X中取值,求(X,Y)的联合分布律. 解X,Y所有可能取的值均为1,2,3,4.下面计算P{X=i,Y=j}. 显然,当j>i时,P{X=i,Y=j}=0;而当j≤i时,由概率乘法公式有P{X=i,Y=j}=P{X=i}P{Y=j|X=i}=14×1i，i,j=1,2,3,4.也可写成表格形式:Y X12341140002181800311211211204116116116116对于二维离散型随机变量(X,Y),它的分布函数也可按下式求得:F(x,y)=∑xi≤x∑yj≤ypij.这里,和式是对满足不等式xi≤x,yj≤y的所有i,j求和. 3.1.3二维连续型随机变量 定义3.5设(X,Y)为二维随机变量,F(x,y)为其联合分布函数.如果存在非负函数f(x,y),使对任意的实数x,y,都有F(x,y)=∫x-∞∫y-∞f(u,v)dudv,(3.3)则称(X,Y)为二维连续型随机变量,f(x,y)为(X,Y)的联合概率密度,简称概率密度. 联合概率密度f(x,y)具有下列性质： (1) f(x,y)≥0. (2) ∫+∞-∞∫+∞-∞f(x,y)dxdy=1. (3) 若G是平面上某一区域,则有P{(X,Y)∈G}=Gf(x,y)dxdy.(3.4)(4) 若f(x,y)在点(x,y)连续,则有2F(x,y)xy=f(x,y).在几何上z=f(x,y)表示空间的一个曲面,由性质(2)知,介于它和xOy平面之间的空间区域的体积为1.由性质(3)知,P{(X,Y)∈G}的值等于以G为底、以曲面z=f(x,y)为顶的柱体体积. 例2设二维随机变量(X,Y)具有概率密度f(x,y)=ke-(2x+y)，x>0,y>0 0，其他.(1)确定系数k; (2)求分布函数F(x,y); (3)求概率P{Y≤X}. 解(1) 由于∫+∞-∞∫+∞-∞f(x,y)dxdy=1,即∫+∞0∫+∞0ke-(2x+y)dxdy=k∫+∞0e-2xdx∫+∞0e-ydy=k×12×1=k2=1,因此可得k=2.(2) F(x,y)=∫x-∞∫y-∞f(u,v)dudv=∫x0∫y02e-(2u+v)dudv,x>0,y>0 0,其他，得F(x,y)=(1-e-2x)(1-e-y),x>0,y>0 0,其他.(3) 将(X,Y)看作是平面上随机点的坐标,即有{Y≤X}={(X,Y)∈G},其中G为xOy平面直线y=x下方部分,如图33所示.图33 于是P{Y≤X}=P{(X,Y)∈G}=Gf(x,y)dxdy =∫+∞0∫+∞y2e-(2x+y)dxdy=13.3.1.4两个常用的分布〖2〗1. 均匀分布设D为xOy平面上的有界区域,其面积为A.若二维随机变量(X,Y)的联合概率密度f(x,y)=1A,(x,y)∈D 0,其他,(3.5)则称(X,Y)服从区域D上的二维均匀分布. 若D1是区域D的子区域,其面积为A1,则P{(X,Y)∈D1}=D1f(x,y)dxdy=1AD1dxdy=A1A.可见此概率与D1在D内的位置无关,仅与D1的面积有关,这就是均匀分布中的“均匀”的含义. 2. 二维正态分布 若二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为 图34 f(x,y)=12πσ1σ21-ρ2e-12(1-ρ2)(x-μ1)2σ21-2ρ(x-μ1)(y-μ2)σ1σ2+(y-μ2)2σ22, -∞0,σ2>0,|ρ| 二维正态分布的概率密度f(x,y)在三维空间的图形好像是一个椭圆切面的钟倒扣在xOy平面上,其中心在(μ1,μ2)处,如图34所示. 3.2边 缘 分 布 〖1〗〖3〗第3章多维随机变量及其分布〖1〗3.2边 缘 分 布〖3〗有了二维随机变量(X,Y)的联合分布,有时仍然需要了解X,Y各自的分布,以及(X,Y)的联合分布与X,Y各自分布之间的关系.本节讨论这个问题. 3.2.1边缘分布函数 定义3.6设F(x,y)为二维随机变量(X,Y)的联合分布函数,则随机变量X的分布函数FX(x)=P{X≤x}=P{X≤x,Y 同理，随机变量Y的分布函数FY(y)=F(+∞,y)，称为二维随机变量(X，Y)关于Y的边缘分布函数. 3.2.2离散型随机变量的边缘分布律 定义3.7设二维离散型随机变量(X,Y)的联合分布律为P{X=xi,Y=yj}=pij,i,j=1,2,…,则(X,Y)关于随机变量X的分布律为P{X=xi}=P{X=xi,Y Xy1y2…yj…pi·x1p11p12…p1j…p1·x2p21p22…p2j…p2·xipi1pi2…pij…pi·p·jp·1p·2…p·j…将边缘分布律记在联合分布律表的边上,既容易计算又一目了然,这也是“边缘”二字的含义. 例1(续3.1节例1)试求(X,Y)的边缘分布律. 解见下表Y X1234pi·114000142181800143112112112014411611611611614p·j254813487483481例2袋中装有2只白球和3只黑球,现连续摸球两次,定义下列随机变量:X=1**次摸出白球 0**次摸出黑球，Y=1第二次摸出白球 0第二次摸出黑球.分别就有放回摸球与无放回摸球两种方式,求(X,Y)的联合分布律和边缘分布律. 解(1) 有放回摸球情形 由试验的独立性可得P{X=0,Y=0}=P{X=0}P{Y=0}=35×35.类似可求出其他的pij,*后得(X,Y)的联合分布律和边缘分布律,见下表:Y X01pi·035×3535×2535125×3525×2525p·j35251(2) 无放回摸球情形 由概率乘法公式可得P{X=0,Y=0}=P{X=0}P{Y=0|X=0}=35×24.类似可求出其他的pij,*后得(X,Y)的联合分布律和边缘分布律,见下表:Y X01pi·035×2435×2435125×3425×1425p·j35251上面两种情形中X和Y的边缘分布律是相同的,但它们的联合分布律却完全不同,由此可知,仅由边缘分布律未必能确定联合分布律. 3.2.3连续型随机变量的边缘概率密度 定义3.8对于连续型随机变量(X,Y),设它的联合概率密度为f(x,y),由FX(x)=F(x,+∞)=∫x-∞∫+∞-∞f(u,v)dvdu知X是一个连续型随机变量,且其概率密度为fX(x)=∫+∞-∞f(x,y)dy,(3.9)称为随机变量(X,Y)关于X的边缘概率密度. 同理，将fY(y)=∫+∞-∞f(x,y)dx(3.10)称为随机变量(X,Y)关于Y的边缘概率密度. 例3设二维随机变量(X,Y)具有概率密度f(x,y)=48xy,0 0,其他,求(X,Y)的边缘概率密度. 解fX(x)=∫+∞-∞f(x,y)dy=∫x2x348xydy,0 0,其他 =24(x5-x7),0 0,其他; fY(y)=∫+∞-∞f(x,y)dx=∫3yy48xydx,0 0,其他 =24(y53-y2),0 0,其他.例4设二维随机变量(X，Y)的联合概率密度函数为f(x,y)=4yπ(1+x2),x>0,0≤y≤1 0,其他，求(X，Y)的边缘概率密度函数fX(x)，fY(y). 解fX(x)=∫+∞-∞f(x,y)dy=∫104yπ(1+x2)dy,x>0, 0,x≤0 =2π(1+x2),x>0 0,x≤0； fY(y)=∫+∞-∞f(x,y)dx=∫+∞04yπ(1+x2)dx,0≤y≤1, 0,其他 =2y,0≤y≤1 0,其他.例5设(X,Y)～N(μ1,μ2,σ21,σ22,ρ),求(X,Y)的边缘概率密度. 解f(x,y)=12πσ1σ21-ρ2e-12(1-ρ2)(x-μ1)2σ21-2ρ(x-μ1)(y-μ2)σ1σ2+(y-μ2)2σ22,令x-μ1σ1=u, y-μ2σ2=v，则fX(x)=∫+∞-∞f(x,y)dy =12πσ1σ21-ρ2∫+∞-∞e-12(1-ρ2)(x-μ1)2σ21-2ρ(x-μ1)(y-μ2)σ1σ2+(y-μ2)2σ22dy =12πσ11-ρ2∫+∞-∞e-12(1-ρ2)(u2-2ρuv+v2)dv =12πσ1e-u2212π(1-ρ2)∫+∞-∞e-ρ2u2-2ρuv+v22(1-ρ2)dv =12πσ1e-u2212π(1-ρ2)∫+∞-∞e-(v-ρu)22(1-ρ2)dv =12πσ1e-u22=12πσ1e-(x-μ1)22σ21.可知 X～N(μ1,σ21)，由对称性可得fY(y)=∫+∞-∞f(x,y)dx=12πσ2e-(y-μ2)22σ22.即Y～N(μ2,σ22).因而正态分布N(μ1,μ2,σ21,σ22,ρ)的两个边缘分布均为一维正态分布,分别为N(μ1,σ21)和N(μ2,σ22),它们与参数ρ无关. 3.3二维随机变量的条件分布 〖1〗〖3〗第3章多维随机变量及其分布〖1〗3.3二维随机变量的条件分布〖3〗在对二维随机变量(X,Y)的讨论中,有时需考虑其中一个随机变量取定某个值时,另一个随机变量的概率分布.借助于随机事件的条件概率的概念,我们引入随机变量的条件分布. 3.3.1离散型随机变量的条件分布 设二维离散型随机变量(X,Y)的分布律为P{X=xi,Y=yj}=pij,i,j=1,2,….仿照条件概率的定义,我们可以很容易地给出离散型随机变量的条件分布律. 定义3.9设(X,Y)是二维离散型随机变量,对于固定的j,若P{Y=yj}>0,则称pi|j=P{X=xi|Y=yj}=P{X=xi,Y=yj}P{Y=yj}=pijp·j ,i=1,2,…(3.11)为在Y=yj条件下随机变量X的条件分布律. 同样,对于固定的i,若P{X=xi}>0,则称pj|i=P{Y=yj|X=xi}=P{X=xi,Y=yj}P{X=xi}=pijpi·,j=1,2,…(3.12)为在X=xi条件下随机变量Y的条件分布律. 有了条件分布律,就可以给出离散型随机变量的条件分布函数. 定义3.10给定Y=yj条件下X的条件分布函数为F(x|yj)=P{X≤x|Y=yj}=∑xi≤xP{X=xi|Y=yi}=∑xi≤xpi|j,(3.13)给定X=xi条件下Y的条件分布函数为F(y|xi)=P{Y≤y|X=xi}=∑yj≤yP{Y=yj|X=xi}=∑yj≤ypj|i(3.14)例1在3.2节例2的无放回摸球情形中,分别求在条件X=0和X=1下随机变量Y的条件分布. 解在3.2节例2中,已求得(X,Y)的联合分布律及边缘分布律为Y X01pi·031031035131011025p·j35251又由P{Y=0|X=0}=P{X=0，Y=0}P{X=0}=31035=12, P{Y=1|X=0}=P{X=0，Y=1}P{X=0}=31035=12,可得在条件X=0下随机变量Y的条件分布律为Y|X=001p1212同理,在条件X=1下随机变量Y的条件分布律为Y|X=101p3414从本例题看出,每个条件分布都从一个侧面描述了一种状态下的特定分布. 3.3.2连续型随机变量的条件分布 设二维连续型随机变量(X,Y)的联合密度函数为f(x,y),边缘概率密度为fX(x),fY(y). 在离散型随机变量场合,条件分布函数为P{X≤x|Y=y},但是,因为连续型随机变量取某个值的概率为零,即P{Y=y}=0,所以无法用条件概率直接计算P{X≤x|Y=y}.这时,我们可以将P{X≤x|Y=y}看成是h→0时P{X≤x|y≤Y≤y+h}的极限,即P{X≤x|Y=y}=limh→0P{X≤x|y≤Y≤y+h} =limh→0P{X≤x,y≤Y≤y+h}P{y≤Y≤y+h} =limh→0∫x-∞∫y+hyf(u,v)dvdu∫y+hyfY(v)dv =limh→0∫x-∞1h∫y+hyf(u,v)dvdu1h∫y+hyfY(v)dv.当fY(y),f(x,y)在y处连续时,由积分中值定理可得limh→01h∫y+hyfY(v)dv=fY(y), limh→01h∫y+hyf(u,v)dv=f(u,y).所以P{X≤x|Y=y}=∫x-∞f(u,y)fY(y)du.至此,我们可以定义连续型随机变量的条件分布如下. 定义3.11设(X,Y)是二维连续型随机变量,对固定的y,若fY(y)>0,则称F(x|y)=∫x-∞f(u,y)fY(y)du(3.15)为在Y=y条件下X的条件分布函数,f(x|y)=f(x,y)fY(y)(3.16)为在Y=y条件下X的条件概率密度. 同理,对固定的x,若fX(x)>0,则称F(y|x)=∫y-∞f(x,v)fX(x)dv(3.17)为在X=x条件下Y的条件分布函数,f(y|x)=f(x,y)fX(x)(3.18)为在X=x条件下Y的条件概率密度. 例2设(X,Y)服从G={(x,y)|x2+y2≤1}上的均匀分布,试求给定Y=y条件下的条件概率密度f(x|y). 解因为f(x,y)=1πx2+y2≤1 0,其他,由此得Y的边缘概率密度为
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