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高等数学物理方法 版权信息
- ISBN：9787030731074
- 条形码：9787030731074 ; 978-7-03-073107-4
- 装帧：一般胶版纸
- 册数：暂无
- 重量：暂无
- 所属分类：>
高等数学物理方法 内容简介
本书内容包含了曲线论、曲面论、张量分析、变分法和积分方程的理论和应用背景。作者针对电子类和应用物理类高年级学生和研究生，需要面广、又有一定深度数学知识，而学生对于此类知识缺乏相应基础的特点，结合专业特色深入浅出地撰写了本书。读者只要具有高等数学、线性代数和微分方程的基础知识就可以顺利地阅读本书。本书介绍的内容是数学物理方法的后续，是电子类和应用物理类高年级本科生和研究生在后续课程学习和科学研究中的难点。
高等数学物理方法 目录
目录
前言
第1章 一元矢量函数与曲线论基础 1
1.1 一元矢量函数的基本概念 1
1.2 矢量函数的微分与泰勒展开式 5
1.3 矢量函数的积分和微分方程 10
1.4 三个特殊的矢量函数与微分几何的概念 12
1.5 空间曲线的自然参数方程 17
1.6 曲线自然方程的建立与曲线族的包络 19
1.7 空间曲线的曲率 24
1.8 Frenet坐标架与挠率 27
1.9 曲线论的基本公式与基本定理 35
1.10 曲线在一点的标准展开和应用 43
1.11 平面曲线的曲率和Frenet标架 50
1.12 整体微分几何和卵形线 58
习题1 65
第2章 曲面论基础与应用 67
2.1 二元矢量函数和曲面的矢量表示 67
2.2 曲面的切平面和法线矢量 71
2.3 曲面的**基本形式 79
2.4 曲面的等距映射 84
2.5 曲面的保角映射 89
2.6 曲面的第二基本形式 94
2.7 曲面曲线的法曲率、主曲率和主方向 100
2.8 曲面点的邻近结构分析 107
2.9 曲面论的基本公式、基本定理和基本方程 115
2.10 Gauss映射和曲面的第三基本形式 122
2.11 曲面的测地曲率与测地线 128
2.12 测地坐标系、短程线和Gauss-Bonnet定理 136
习题2 146
第3章 笛卡儿张量与应用 149
3.1 矢量代数 149
3.2 笛卡儿张量的概念 156
3.3 笛卡儿张量定义与性质 163
3.4 笛卡儿张量的代数运算 176
3.5 笛卡儿张量场论1：导数、梯度与散度 184
3.6 笛卡儿张量场论2：旋度与张量的积分 193
3.7 二阶笛卡儿张量 203
3.8 二阶对称笛卡儿张量及其几何表示 212
习题3 219
第4章 张量的普遍理论 221
4.1 斜角直线坐标系中的协变量及其对偶量 221
4.2 曲线坐标系矢量和基与坐标变换 228
4.3 张量的普遍定义与度规张量 236
4.4 张量的代数运算 245
4.5 基矢量的导数与Christoffel符号 253
4.6 张量场理论 259
4.7 物理标架下的张量场 269
习题4 279
第5章 变分法 281
5.1 有关变分问题的实际例子 281
5.2 变分法的基本原理及性质 283
5.3 泛函的欧拉方程 287
5.4 含有多个未知函数与高阶导数的泛函 291
5.5 多元函数的泛函数极值问题 295
5.6 端点不变的自然边界条件和自然过渡条件下的变分法 299
5.7 可动边界的变分问题 306
5.8 条件极值的变分问题——测地线问题 314
5.9 条件极值的变分问题——等周问题 319
5.10 直接变分法及其应用 326
5.11 偏微分方程边值问题的直接与半直接变分法 337
习题5 345
第6章 积分方程基础 349
6.1 积分方程的起源与概念 349
6.2 积分方程与微分方程的联系 355
6.3 逐次逼近法解Volterra方程 360
6.4 Volterra**类方程的解法 365
6.5 Volterra方程的其他解法 374
6.6 Fredholm第二类方程的解法 379
6.7 可分核的Fredholm方程解法 386
6.8 Green函数与对称核积分方程 392
6.9 Hilbert-Schmidt理论与非齐次Fredholm方程的解法 402
6.10 诺伊曼级数与Fredholm理论 411
6.11 奇异积分方程 416
6.12 Fredholm方程的近似解法 420
习题6 430
参考文献 433
前言
第1章 一元矢量函数与曲线论基础 1
1.1 一元矢量函数的基本概念 1
1.2 矢量函数的微分与泰勒展开式 5
1.3 矢量函数的积分和微分方程 10
1.4 三个特殊的矢量函数与微分几何的概念 12
1.5 空间曲线的自然参数方程 17
1.6 曲线自然方程的建立与曲线族的包络 19
1.7 空间曲线的曲率 24
1.8 Frenet坐标架与挠率 27
1.9 曲线论的基本公式与基本定理 35
1.10 曲线在一点的标准展开和应用 43
1.11 平面曲线的曲率和Frenet标架 50
1.12 整体微分几何和卵形线 58
习题1 65
第2章 曲面论基础与应用 67
2.1 二元矢量函数和曲面的矢量表示 67
2.2 曲面的切平面和法线矢量 71
2.3 曲面的**基本形式 79
2.4 曲面的等距映射 84
2.5 曲面的保角映射 89
2.6 曲面的第二基本形式 94
2.7 曲面曲线的法曲率、主曲率和主方向 100
2.8 曲面点的邻近结构分析 107
2.9 曲面论的基本公式、基本定理和基本方程 115
2.10 Gauss映射和曲面的第三基本形式 122
2.11 曲面的测地曲率与测地线 128
2.12 测地坐标系、短程线和Gauss-Bonnet定理 136
习题2 146
第3章 笛卡儿张量与应用 149
3.1 矢量代数 149
3.2 笛卡儿张量的概念 156
3.3 笛卡儿张量定义与性质 163
3.4 笛卡儿张量的代数运算 176
3.5 笛卡儿张量场论1：导数、梯度与散度 184
3.6 笛卡儿张量场论2：旋度与张量的积分 193
3.7 二阶笛卡儿张量 203
3.8 二阶对称笛卡儿张量及其几何表示 212
习题3 219
第4章 张量的普遍理论 221
4.1 斜角直线坐标系中的协变量及其对偶量 221
4.2 曲线坐标系矢量和基与坐标变换 228
4.3 张量的普遍定义与度规张量 236
4.4 张量的代数运算 245
4.5 基矢量的导数与Christoffel符号 253
4.6 张量场理论 259
4.7 物理标架下的张量场 269
习题4 279
第5章 变分法 281
5.1 有关变分问题的实际例子 281
5.2 变分法的基本原理及性质 283
5.3 泛函的欧拉方程 287
5.4 含有多个未知函数与高阶导数的泛函 291
5.5 多元函数的泛函数极值问题 295
5.6 端点不变的自然边界条件和自然过渡条件下的变分法 299
5.7 可动边界的变分问题 306
5.8 条件极值的变分问题——测地线问题 314
5.9 条件极值的变分问题——等周问题 319
5.10 直接变分法及其应用 326
5.11 偏微分方程边值问题的直接与半直接变分法 337
习题5 345
第6章 积分方程基础 349
6.1 积分方程的起源与概念 349
6.2 积分方程与微分方程的联系 355
6.3 逐次逼近法解Volterra方程 360
6.4 Volterra**类方程的解法 365
6.5 Volterra方程的其他解法 374
6.6 Fredholm第二类方程的解法 379
6.7 可分核的Fredholm方程解法 386
6.8 Green函数与对称核积分方程 392
6.9 Hilbert-Schmidt理论与非齐次Fredholm方程的解法 402
6.10 诺伊曼级数与Fredholm理论 411
6.11 奇异积分方程 416
6.12 Fredholm方程的近似解法 420
习题6 430
参考文献 433
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高等数学物理方法 节选
第1章 一元矢量函数与曲线论基础 本章的主要内容是微分几何的曲线论.首先介绍曲线论的基础:一元矢量函数的代数运算和分析运算，根据后面曲线论的需要，以例题的形式，讨论矢量常微分方程的解法;然后用定长矢量、定向矢量与定向垂直矢量引进微分几何的概念;后续几节讨论曲线论的基本内容，包括曲线的曲率、挠率和Frenet标架.本书以应用为目标，对于微分几何的过分复杂的定理以理解、会用为目标，证明为辅，强调定理在各种不同场景下的应用.曲线论的重点放在实际应用中非常有用的Frenet公式和曲线的内在方程上. 1.1一元矢量函数的基本概念 高等数学中已经介绍了一些矢量，但是这些矢量的模和方向在运算中都保持不变，也就是说是常矢量的运算.实际应用和更深入的理论研究中常常会遇到矢量的模和方向都在变化，或者二者至少有一个在变化，这就是本书要介绍的矢量函数.本节只讨论曲线论中需要的一元矢量函数，第2章再介绍曲面论中要用到的二元矢量函数. 一元矢量函数定义:设有数性变量t和变矢量，G是t的定义域，对于G内的每一个t，矢量.有一个确定的矢量与之对应，称.a是t的一元矢量函数，这里简称为矢量函数，记作. 矢量函数.a(t)除了有常矢量的所有特点，还会随着t的改变而改变其方向和大小，它在笛卡儿坐标系中的投影分量都是变量t的函数，因此有 (1.1.1) 上式也可以用行向量表示为 (1.1.2) 根据矢量函数的表达式(1.1.1)可以定义与.相等的另一矢量函数. 如果有矢量函数，它在笛卡儿坐标系中的投影表达式是 (1.1.3) 而以下关系成立: 则称两个矢量函数相等，记作 (1.1.4) 矢量函数类似标量函数，也有极限与连续性，分别讨论如下. 矢量函数的极限.设在t0的某一个邻域内有定义，为常矢量，总有，当，时，有 成立，称在时的极限是，记作 (1.1.5) 现在讨论如何求解矢量函数的极限.从的极限定义可以得到 上式的等价条件是 (1.1.6) 因此，式(1.1.5)也可以写成 (1.1.7) 式(1.1.7)表示求矢量函数的极限，可以先求其每一个分量函数的极限值，然后再把这些分量函数的极限值合成起来，就是矢量函数的极限.于是，矢量函数的极限转化为计算其分量函数的极限.而分量函数是一元标量函数，这样矢量函数 的极限就成为求一元函数极限. 矢量函数的极限运算法则如下: (1.1.8a) (1.1.8b) (1.1.8c) (1.1.8d) 上式中“ ”表示点乘，与普通代数乘法相同;而“×”表示叉乘，也就是矢量积. 下面仅对式(1.1.8a)加以证明，其他证明类似，不再证明.记 按极限定义得到 在时，由于，在的邻域是有界 的，用极限夹逼定理得到 矢量函数的连续性定义如下:若矢量函数在的某个邻域内有定义，并且有 (1.1.9) 称在处连续.如果矢量函数在某一个区间内的每一点都连续，称矢量函数在该区间内连续，或称.a(t)是该区间内的连续矢量函数. 根据矢量函数极限运算性质和连续性定义可知:矢量函数和在处连续，标量函数也在处连续，那么矢量函数，和也在处连续. 矢量函数的几何意义可以通过对于参数t变化的几何特征得到.变量t取一系列值，这些值代入矢量函数，得到点的集合，将这些点的集合在坐标系中依照tk出现的次序连接起来，就会得到一条曲线，如图1.1所示.曲线上点P的坐标是，点P与坐标原点O连接起来，得到矢径 从图中可见，矢径.r(t)的端点反映了矢量.a(t)的变化，这条曲线因此称为矢径.r(t)的矢端曲线. 例1.1已知圆柱螺旋线的参数方程是 求它的矢量函数表达式和曲线图. 解将表达式用矢量表达出来，为 取螺旋轴作为轴，设在时刻，动点在轴上，用表示沿轴的移动速度，则有.以表示绕轴旋转的角度，是动点到轴的距离，从图1.2可以得到 再设动点P绕Oz轴等速转动，所以角度θ与时间t成正比.以ω表示角速度，角位移是.由于，就有.再令，*终得到.曲线的参数方程是 根据上述推导可得到螺旋线的几何定义:一个动点绕一条定直线做等速转动并沿着直线做等速移动，则这个动点的轨迹称作螺旋线. 1.2矢量函数的微分与泰勒展开式 这一节有两部分内容，首先介绍矢量函数的导数、矢量导数的几何意义、运算法则和微分，其次讨论矢量函数的泰勒展开式. 矢量函数导数的定义与数性函数类似，定义如下:如果矢量函数的极限 存在，其中G是的定义域，称矢量函数在处可导，这个极限值称作在的导数.由于这个极限值也是矢量，所以矢量函数的导数又称作导矢量，记作 (1.2.1) 导矢量在微分几何中又可以写作 如果在t∈G中每一点都可导，称.a(t)在区间G内是可微的. 导矢量的几何意义可用矢端曲线表示出来，如图1.3所示.根据矢端曲线的意义，和在图1.3中是矢量三角形的两边，第3条边是增量矢量.实际上，是矢端曲线l的割线，割线绕M点转动，*终以点处的切线作为它的极限位置.矢量是上的一个矢量，所以它的极限位置不为零时，在点N的切线上. 现在考虑导矢量的指向.由于当时，与指向一致，对应于增大的方向;而当时，的方向如图1.3中的虚线所示，其指向与方向相反，所以导矢量仍然指向t增大方向. 总结图1.3中导矢量的几何意义可知，导矢量是指向t增大方向的切线. 根据导矢量的极限定义式(1.2.1)可知，导矢量是各分量导数的矢量和，在笛卡儿坐标中可分解为 (1.2.2) 上式表明矢量的导数可以分解成一元数量函数的导数来求解. 根据极限运算法则可以得到导数运算法则如下: (1.2.3a) (1.2.3b) (1.2.3c) (1.2.3d) (1.2.3e) (1.2.3f) 复合矢量函数是，导数是 (1.2.4)
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