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数学
数值分析
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数值分析

作者：赵海良
出版社：科学出版社出版时间：2022-10-01
开本： 16开 页数： 434
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数值分析 版权信息

  • ISBN：9787030731999
  • 条形码：9787030731999 ; 978-7-03-073199-9
  • 装帧：一般胶版纸
  • 册数：暂无
  • 重量：暂无
  • 所属分类：
    自然科学
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    数学

数值分析 内容简介

本书共10章，具体内容包括：绪论、预备数学基础、非线性方程求解、线性方程组的直接解法、线性方程组的迭代解法、插值法、曲线拟合和函数逼近、数值积分与微分、常微分方程的数值解法、矩阵特征值计算介绍。 本书针对理工科研究生的需求和特点，写法上强调各类数值问题的底层逻辑；特别注重用生活中的常识对相关数学思想进行解释说明；尽量深入浅出并联系应用，大多算法都给出了MATLAB代码；某些部分采用探素者视角的书写方式，以适应研究生阶段学习的研读特点；讲义式内容组织方式和各级标题为教学与自学提供了明确导引、为方便读者自学，本书内容配有微课视频，读者可通过扫描书中二维码学习 本书适合作为理工类硕士研究生的数值分析教材，也可作为科技工作者的参考资料。

数值分析 目录

目录
前言
第1章 绪论 1
1.1 数值分析的主要研究问题 1
1.1.1 实际问题对数值方法的需求 1
1.1.2 工科研究生确实需要学习数值方法 4
1.1.3 如何学好数值分析 5
1.2 误差 6
1.2.1 误差的来源 6
1.2.2 基本概念 7
1.2.3 有效位数的判别方法 10
1.2.4 基本运算中的误差估计 12
1.3 数值运算的若干原则 16
1.3.1 使用数值稳定的算法 16
1.3.2 避免两个相近的数相减 18
1.3.3 防止大数吃掉小数 19
1.3.4 采用运算次数少的方法 19
1.3.5 典型例题分析 20
习题 1 21
第2章 预备数学基础 22
2.1 高等数学知识回顾 22
2.1.1 闭区间上连续函数的性质 23
2.1.2 微积分中值定理 23
2.1.3 高阶无穷小与同阶无穷小 26
2.1.4 过程量大小的阶 26
2.1.5 上确界与下确界 27
2.2 线性代数知识回顾 28
2.2.1 矩阵的初等行变换 28
2.2.2 矩阵的特征值 28
2.2.3 正定二次型和正定矩阵 29
2.2.4 Schmidt 正交化方法 30
2.3 线性空间的一些**知识 31
2.3.1 线性空间 31
2.3.2 向量空间相关概念的推广 33
2.4 赋范空间 36
2.4.1 范数和赋范空间概念 36
2.4.2 赋范空间中的序列极限 38
2.4.3 n 维向量序列的极限 40
2.5 矩阵范数 41
2.5.1 矩阵范数的构建和相容性 41
2.5.2 常用矩阵范数 44
2.5.3 相容范数与谱的关系 47
2.6 内积空间 50
2.6.1 为什么引入内积空间 50
2.6.2 内积空间概念 51
2.6.3 常用的内积空间 52
2.7 内积空间正交性与*佳逼近 54
2.7.1 正交系与正交基 54
2.7.2 *佳逼近 56
2.7.3 *佳逼近向量求法和法方程组 58
2.7.4 矛盾方程组的*小二乘解法 61
2.8 MATLAB 程序设计精要 62
2.8.1 MATLAB 源程序的组成方式 63
2.8.2 源程序文件名的命名规则 63
2.8.3 M-脚本文件 63
2.8.4 M-函数文件 64
2.8.5 子函数 69
2.8.6 关于 MATLAB 编程的几点说明 69
习题 2 69
第3章 非线性方程求解 71
3.1 非线性方程求解概述与二分法 71
3.1.1 基本概念与求解思想 71
3.1.2 根的隔离 72
3.1.3 二分法 73
3.1.4 MATLAB 分分钟代码实现 75
3.2 迭代法 80
3.2.1 迭代原理 80
3.2.2 迭代法的收敛条件 83
3.2.3 两个误差公式的意义 86
3.2.4 迭代过程的收敛速度 87
3.2.5 改进和加速收敛 88
3.3 Newton 法与弦截法 92
3.3.1 局部线性化思想 92
3.3.2 Newton 法 93
3.3.3 Newton 法的收敛性 94
3.3.4 MATLAB 分分钟代码实现 97
3.3.5 Newton 法的改进 98
3.3.6 重根加速收敛法 102
3.3.7 求复根 103
3.3.8 用 MATLAB 秒解方程 103
习题 3 105
第4章 线性方程组的直接解法 107
4.1 消元法 107
4.1.1 Gauss 消元法 107
4.1.2 主元消元法 111
4.1.3 Gauss-Jordan 消元法 112
4.1.4 运算量估计与比较 114
4.2 矩阵三角分解法 115
4.2.1 Gauss 消元过程的矩阵表示 115
4.2.2 三角分解 116
4.2.3 三角分解法的几点说明 121
4.3 平方根法和追赶法 122
4.3.1 正定矩阵的分解 122
4.3.2 改进的平方根法 125
4.3.3 追赶法 127
4.4 用 MATLAB 解方程组 130
4.4.1 一般解法代码.130
4.4.2 LU 分解法代码 131
4.4.3 追赶法求解代码 133
4.5 方程组的性态和条件数 134
4.5.1 性态和条件数产生的背景 135
4.5.2 病态方程组的讨论 136
4.5.3 病态方程组的判断及求解措施 141
4.5.4 条件数用于误差估计 142
4.5.5 残解校正法 142
习题 4 144
第5章 线性方程组的迭代解法 146
5.1 迭代法及其构建 146
5.1.1 方程组的迭代法 146
5.1.2 Jacobi 迭代法 147
5.1.3 Gauss-Seidel 方法 150
5.1.4 MATLAB 分分钟代码实现 151
5.1.5 两种方法的比较 154
5.2 迭代法的收敛条件 154
5.2.1 迭代收敛的充要条件 155
5.2.2 迭代收敛的充分条件 158
5.2.3 松弛法 161
5.3 共轭梯度法 163
5.3.1 二次函数极值与线性方程组解的关系 163
5.3.2 椭型函数等值面的几何意义 164
5.3.3 *速下降法 166
5.3.4 共轭梯度法的朴素思想 167
5.3.5 共轭梯度法的几何描述 169
5.3.6 共轭梯度法的递推算式 172
5.3.7 MATLAB 分分钟代码实现 175
5.3.8 共轭梯度法的理论依据与应用 177
习题 5 178
第6章 插值法 181
6.1 插值问题背景综述 181
6.1.1 两类经常遇到的实际问题 181
6.1.2 插值问题和插值法 182
6.2 Lagrange 插值 182
6.2.1 n 次多项式插值问题 182
6.2.2 插值多项式的存在性和唯一性 183
6.2.3 Lagrange 插值多项式 184
6.2.4 简单的线性插值和抛物插值 185
6.2.5 插值余项和误差估计 186
6.2.6 Lagrange 插值优劣分析 189
6.2.7 MATLAB 分分钟代码实现 189
6.3 Newton 插值 191
6.3.1 差商 191
6.3.2 Newton 插值多项式及其余项 192
6.3.3 MATLAB 分分钟代码实现 196
6.4 等距节点插值多项式 198
6.4.1 差分 198
6.4.2 等距节点插值公式 199
6.5 高次插值的缺陷与改进对策 203
6.5.1 多项式插值的缺陷 203
6.5.2 分段多项式插值 205
6.5.3 分段插值的余项及收敛性和稳定性 206
6.6 Hermite 插值 207
6.6.1 Hermite 插值问题的一般形式 208
6.6.2 简单 Hermite 插值问题 208
6.6.3 一阶 Hermite 插值多项式 211
6.6.4 MATLAB 分分钟代码实现 214
6.6.5 Hermite 插值法小结和优缺点分析 217
6.7 样条插值 218
6.7.1 样条曲线和三次样条 218
6.7.2 三次样条的三弯矩求解方法 220
6.7.3 三次样条的三转角确定法 225
6.7.4 样条插值示例 228
6.7.5 MATLAB 分分钟代码实现 229
6.7.6 三次样条插值的理论结果 232
6.7.7 保形插值 234
6.7.8 插值法小结 235
6.8 二元多项式插值 236
6.8.1 一般插值的共有问题 236
6.8.2 二元函数插值 238
6.8.3 插值问题的进一步推广 242
习题 6 242
第7章 曲线拟合和函数逼近 245
7.1 曲线拟合问题 245
7.1.1 实际问题的需求 245
7.1.2 曲线拟合概念 246
7.2 *小二乘法和多项式拟合 248
7.2.1 曲线拟合的*小二乘法 248
7.2.2 线性*小二乘法 249
7.2.3 MATLAB 分分钟代码实现 257
7.2.4 非线性*小二乘拟合 258
7.2.5 带权线性拟合 263
7.2.6 *小二乘法的短处 264
7.3 基于正交系的*小二乘拟合 264
7.3.1 正交拟合的萌发 264
7.3.2 离散正交系下的*小二乘法 265
7.3.3 正交与非正交拟合的比较 268
7.4 函数的*佳平方逼近 271
7.4.1 函数距离和正交函数系 271
7.4.2 *佳平方逼近 272
7.4.3 MATLAB 分分钟代码实现 273
7.4.4 基于正交系的*佳平方逼近 275
7.5 正交多项式系 277
7.5.1 正交多项式的共性 277
7.5.2 正交多项式系构造法 278
7.5.3 *佳平方逼近多项式的误差与收敛性 279
7.5.4 *佳平方逼近的例子 280
7.5.5 Legendre 正交多项式 282
7.5.6 Chebyshev 多项式 286
7.5.7 其他正交多项式和正交系 288
7.6 *佳一致逼近多项式 288
7.6.1 *佳一致逼近问题 288
7.6.2 Chebyshev *小偏差多项式 292
7.6.3 Chebyshev 多项式的应用 294
7.7 周期函数逼近 300
7.7.1 *佳平方逼近三角多项式 301
7.7.2 正交基下拟合和插值的关系 303
7.7.3 周期函数的*小二乘三角多项式 306
7.7.4 三角插值与三角拟合的关系 309
7.8 快速 Fourier 变换 311
7.8.1 复正交基函数下的三角插值与拟合 311
7.8.2 离散快速 Fourier 变换 312
7.8.3 MATLAB 分分钟代码实现 313
习题 7 319
第8章 数值积分与微分 321
8.1 数值积分的基本概念 321
8.1.1 构造数值求积公式的基本思想 321
8.1.2 代数精度 323
8.1.3 插值型求积公式 325
8.2 Newton-Cote

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数值分析 节选

第1章 绪论 第1章 微课视频 问题1 学习数值分析有何用？ 答 数学在工程技术中的一个重要发力点， 是工程问题数学模型的数值计算，其数值计算方法的优劣和计算精度， 将直接关系着工程的质量甚至成败. 而作为工科研究生的你很可能会在将来参与一些重大工程. 数值分析就是研究数值计算原理和计算方法的专门课程. 学习该课程是理解计算原理和学会正确选择计算方法的重要途径. 问题2 对于偏向技术理论研究的学生是否有必要学习数值分析？ 答 科学理论、科学实验、科学计算被认为是现代科学技术的三大研究手段或研究方法. 这三种方法相互支撑但又相对独立， 缺一不可. 很多理论的猜想和推测， 以及实验结果的分析和总结， 都需要以科学计算为基础. 特别是在充分考虑以计算机为计算工具的前提下所发展出来的数值分析理论和方法， 使得很多以往必须靠理论推导完成的定性分析， 可以化作非常直观的可视结果， 这可以极大地缩减研究时间， 提高研究效率. 换句话说， 对于偏向工程技术理论研究的学生以及工学博士而言， 掌握了数值分析技能可以让你如虎添翼. 1.1 数值分析的主要研究问题 1.1.1 实际问题对数值方法的需求 1. 数值方法的必要性 工程计算中， 通常需要的是具体的数值结果， 而不是数学作业和数学试卷中大家习以为常的精确表达式. 比如， 一个本科生可能认为*是一个标准答案， 但一个工程师需要的是*. 说得夸张一点， 一个定积分的精确而漂亮的公式解， 或许对于数学考试是标准答案，但对于工程计算而言， 公式解的实用性就大打折扣了. 因为工程中需要的是具体数值， 所以面对各种计算问题， 必须有有效的数值方法. 寻求有效的数值方法是数值分析永远的主题. 同一计算问题可能有多种方法， 自然要问： 问题 1.1.1 何谓数值方法的优劣？ 下面是一些考虑. 2. 需要计算复杂性低的方法 例 1.1.1 对于 (1.1.1) 直接计算需作的乘法次数为*， 加法次数为n. 而用如下的递推公式 (1.1.2) 仅需 n 次乘法和 n 次加法即可得 Pn(x) 的值， 计算量由 n 的平方级陡降为线性级. 事实上， 累计计算过程中的乘法次数和加法次数即知. 评注 “讲得一事， 即行一事， 行得一事， 即知一事， 所谓真知矣. 徒讲而不行， 则遇事终有眩惑. ” 动手践行是深刻理解一个算法*好的方式. 以 P4(x) 为例， 将其写成嵌套乘法 (nested multiplication) 的形式： (1.1.3) 将括号部分作为递推因子 tk， 则递推公式 (1.1.2) 可轻松得到. 嵌套乘法实际上就是秦九韶算法. 我国古代祖冲之、秦九韶 (宋代) 和杨辉等在计算方面都做出了相当大的贡献， 国外称此算法为 Hornor(霍纳) 算法， 比秦九韶算法至少晚五个世纪. 2000 年 8 月有报道称在四川安岳为秦九韶塑像建馆， 以弘扬我国古代数学家的卓越贡献， 其所著《数书九章》堪称中国古代数学之瑰宝. 综上， 同一个问题可能会有多种算法， 人们需要的是计算量小的方法， 或更加笼统地说计算复杂性低的方法. 计算复杂性包括时间复杂性、空间复杂性、逻辑复杂性等. 总之如何构建计算复杂性低的方法， 是算法研究中需考虑的一个重要问题. 3. 需要数值稳定的方法 例 1.1.2 计算下述积分的值. 易知 I0 = 1 . e.1， (1.1.4) 取*递推计算结果如表 1.1.1 所示. 表 1.1.1 In 计算结果表 观察计算结果可知， J8 已经完全不能作为 I8 的近似值了. 郁闷否？用理论上没问题的方法， 得到的计算结果却大大出人所料. 故人们需要的是数值稳定的算法. 所谓数值稳定， 通俗地说， 就是不会因微小的扰动而导致计算结果严重偏离计算目标. 因而下述两个问题也是数值分析的重要问题. 思考题 1.1.1 如何构建数值稳定的方法？ 思考题 1.1.2 哪类问题对初始误差比较敏感？ 4. 需要收敛的方法 还有很多问题可能需要迭代求解， 即希望通过形如* 或类似的式子， 进行有限次周而复始的迭代过程得到问题的解. 此时， 一个基本要求是迭代序列必须具有收敛性. 有关实例可翻阅本书第 3 章和第 5 章中关于方程求根和方程组求解的迭代法. 因而， 如何判断和设计迭代算法， 确保迭代收敛性也是数值分析中的一个重要问题. 5. 误差是必须考虑的问题 请注意， 在前面几个实例当中， 所有结果都是对精确结果的近似， 都需对其误差做出估计， 否则就没有意义. 显而易见， 算法的误差估计问题是数值方法的一个基本问题. 所以， 在此提醒读者， 学习数值分析， 必须具有误差意识. 6. 数值分析理论体系的脉络 数值分析的内容由计算数学若干分支的内容构成， 包括数值代数、数值逼近、数值微积分以及微分方程数值解等. 其中的各种数值方法看似繁杂， 但有其自身的理论体系， 各部分研究的主要问题具有共性. 其一， 都会有由算法和公式组成的计算方法; 其二， 都会有方法的效率和可靠性分析， 其中包括计算复杂性、方法的稳定性、方法的收敛性和方法的误差分析. 所有数值方法的构造也具有共性：均采用近似手段. 只有在数值分析的学习中， 注意到这些共性， 才不会迷失方向. 1.1.2 工科研究生确实需要学习数值方法 工科研究生日后要解决的是实际工程问题， 模型计算和系统仿真通常是必不可少的过程， 数值分析非学不可. 1. 解决问题的过程需要数值算法 解决实际问题的过程通常按图 1.1.1 所示的次序进行. 从中可以看出， 计算方法是该过程中的重要一环， 其合理性、优劣性等方面是必须考虑的问题. 图 1.1.1 实际问题解决过程模块示意图 2. 系统仿真过程需要数值算法 控制系统在正式制造之前， 通常首先进行仿真研究， 借以节省人力、物力和财力， 进而提高研制效率. 仿真过程模块如图 1.1.2 所示. 其中计算方法在被控对象和控制器中都是重要环节. 二者均需考虑算法的合理性、优劣性和实时性等方面的要求. 特别是实时性， 即算法的计算速度必须足够快才能保证控制器的实时性.在实际问题中， 算法所需要的硬件条件越低和硬件资源越少则越好. 图 1.1.2 控制系统仿真过程模块示意图 1.1.3 如何学好数值分析 1. 工科研究生是算法的使用者 学习目标决定 “学好” 的标准. 工科研究生的培养目标是日后成为工程技术中的高端人才， 而不是计算数学专业的数学人才， 这两类人才需要区分开来. 前者侧重的是计算技术和方法的使用而非创造， 后者则更侧重数值算法的研发. 因而，工科研究生更注重的应该是如何选择方法和使用方法， 而不是方法的抽象理论和繁杂的分析过程. 但需注意， 知晓算法的背景意义和原理才能具备正确选择方法的能力. 2. 要充分注意到数值分析的技术性特点 数值分析与其他数学课程的显著不同， 是追求 “近似” 而非 “精确”， 且与计算机编程技术密切结合， 因而具有高度的技术性. 同一个问题会有多种近似计算方案， 学习过程中注意到近似计算的技术性有助于更好地选择方法. 3. 工科研究生应善于使用计算软件 需要指出的是， 算法使用者与实现算法编程的程序员也应该区分开来. 算法的使用者可以不熟悉底层代码编写， 但需要知晓算法的优劣和学会计算软件的使用方法. 比如， 在知道各种算法稳定性、计算复杂性、计算精度和算法原理的基础上， 同时也应掌握计算工具软件的使用和操作知识， 但不必太花心思关注软件的具体实现. 有些学者将数值分析定义为一门介绍适合于在计算机上使用的数值方法的课程， 凸显了计算软件在计算技术方面的重要性. 所以本书将会与 MATLAB 密切结合， 所涉及的主要计算方法， 基本上都给出了 MATLAB“分分钟”(即很快) 就可以搞定的解决方案. 4. 学好数值分析的标志 1) 学了会用 (算) 遇到问题能够给出符合要求的计算方案和数值结果， 即 “会算”. 2) “没学” 会 “找” 当本书内容无法满足读者的计算问题需求时， 应知道有关数值算法 “正确的”获取途径， 即没学也知道在哪儿会比较有可能找到所需要的算法， 而不是一筹莫展. 本书不能也不可能涵盖所有的数值方法， 但会根据有关内容， 尽量提供一些参考文献， 供读者进一步深究. 3) 学习中快乐着 原来学习可以得到快乐！世界原来更精彩！这也是学好数值分析的一种标志和境界！ ——当你发自肺腑地有类似感叹之时， 想不学好都难！ 1.2 误差 近似手段乃是所有数值方法之构造共性， 故误差是数值分析*基本的概念. 问题 1.2.1 误差的产生来源有哪些？(下有详述.) 1.2.1 误差的来源 误差源于人们对无限世界的有限描述. 可分为如下几种. 1. 模型误差 源于客观现象主次因素的取舍和简化. 数学模型不能包括与客观现象相关的所有因素， 是客观现象的一种近似， 由此产生的误差称为模型误差. 这里引用爱因斯坦的一句话， 看一看顶级科学家对此问题的阐述：“So far as the laws of mathematics refer to reality， they are notcertain. And so far as they are certain， they do not refer to reality.”(迄今为止，只要是描述现实世界的数学结论， 它们一定是不确定的， 但凡是确定的， 它们描述的就不是现实世界.)

数值分析 作者简介

赵海良，西南交通大学数学学院教授、理学硕士、工学博士，1982年本科毕业于西南交通大学数学专业。研究领域为智能控制和智能信息处理，并长期担任各层次数学类公共基础课和专业课程的教学工作，多年来致力于实施理工融合的教学理念。

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