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数学

高等数学(下)(第二版)

作者：陶前功，曾艳妮

出版社：科学出版社出版时间：2022-09-01

开本：其他页数： 228

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高等数学(下)(第二版) 版权信息

ISBN：9787030726049
条形码：9787030726049 ; 978-7-03-072604-9
装帧：一般胶版纸
册数：暂无
重量：暂无
所属分类：
自然科学
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数学

高等数学(下)(第二版) 内容简介

本套书是依据教育部《经济管理类数学课程教学基本要求》，针对高等学校经济类、管理类各专业的教学实际编写的高等数学教材或微积分课程教材，分上、下两册。本书是下册，内容包括微分方程与差分方程、无穷级数、多元函数微分学、二重积分。每节后配有（A）、（B）两组习题，每章后配有总习题，（B）组习题为满足有较高要求的读者配备，题型丰富，梯度难度恰到好处。

高等数学(下)(第二版) 目录

目录
第6章微分方程与差分方程 1
6.1 微分方程的基本概念 2
6.1.1 引例 2
6.1.2 基本概念 2
6.1.3 微分方程的解 3
习题6.1 7
6.2 一阶微分方程 8
6.2.1 可分离变量的微分方程 8
6.2.2 齐次方程 12
6.2.3 一阶线性微分方程 17
*6.2.4 伯努利方程 20
习题6.2 22
6.3 可降阶的二阶微分方程 24
6.3.1 y″=f(x)型 25
6.3.2 y″=f(x，y′)型 25
6.3.3 y″=f(y，y′)型 26
习题6.3 28
6.4 二阶线性微分方程的性质及解的结构 29
习题6.4 31
6.5 二阶常系数线性微分方程 31
6.5.1 二阶常系数齐次线性微分方程及其解法 31
6.5.2 二阶常系数非齐次线性微分方程及其解法 34
习题6.5 37
6.6 微分方程的应用举例 39
6.6.1 衰变问题 39
6.6.2 逻辑斯谛方程 39
6.6.3 价格调整问题 41
6.6.4 人才分配问题 42
6.6.5 追迹问题 43
习题6.6 44
6.7 差分方程 45
6.7.1 差分的概念及性质 45
6.7.2 差分方程的概念 47
6.7.3 一阶常系数线性差分方程 48
6.7.4 二阶常系数线性差分方程 53
6.7.5 差分方程在经济学中的应用 58
习题6.7 60
小结 61
总习题6 66
第7章无穷级数 69
7.1 常数项级数的概念及性质 70
7.1.1 常数项级数的概念 70
7.1.2 收敛级数的基本性质 74
习题7.1 76
7.2 正项级数 77
习题7.2 84
7.3 任意项级数 86
7.3.1 交错级数及其判别法 86
7.3.2 绝对收敛与条件收敛 88
习题7.3 90
7.4 幂级数 92
7.4.1 函数项级数的概念 92
7.4.2 幂级数及其敛散性 93
7.4.3 幂级数的运算 97
习题7.4 99
7.5 泰勒级数函数的幂级数展开式 100
7.5.1 泰勒公式 100
7.5.2 泰勒级数 103
7.5.3 函数展开成幂级数的方法 104
习题7.5 107
7.6 函数幂级数展开式的应用 108
7.6.1 近似计算 108
7.6.2 其他应用 110
习题7.6 111
小结 112
总习题7 116
第8章多元函数微分学 119
8.1 空间解析几何简介 120
8.1.1 空间直角坐标系 120
8.1.2 曲面与方程 121
习题8.1 124
8.2 多元函数的基本概念 125
8.2.1 平面点集 125
8.2.2 多元函数的定义 126
8.2.3 多元函数的极限 128
8.2.4 多元函数的连续性 130
习题8.2 131
8.3 偏导数及其在经济中的应用 132
8.3.1 偏导数的概念 132
8.3.2 高阶偏导数 135
8.3.3 偏导数在经济中的应用 136
习题8.3 138
8.4 全微分 140
8.4.1 全微分的概念 140
8.4.2 全微分在近似计算中的应用 143
习题8.4 144
8.5 多元复合函数求导法则 145
8.5.1 多元复合函数的求导法则 145
8.5.2 全微分形式不变性 148
习题8.5 149
8.6 隐函数的求导公式 150
8.6.1 一个方程的情形 150
8.6.2 方程组的情形 153
习题8.6 153
8.7 多元函数的极值及其求法 155
8.7.1 二元函数的极值 155
8.7.2 二元函数的*值 157
8.7.3 条件极值 159
*8.7.4 *小二乘法 163
习题8.7 165
小结 167
总习题8 170
第9章二重积分 173
9.1 二重积分的概念及性质 174
9.1.1 二重积分的概念 174
9.1.2 二重积分的性质 176
习题9.1 178
9.2 二重积分的计算 180
9.2.1 直角坐标系中二重积分的计算 180
9.2.2 极坐标系中二重积分的计算 189
9.2.3 广义二重积分 193
习题9.2 194
小结 197
总习题9 199
参考答案 201

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高等数学(下)(第二版) 节选

第6章微分方程与差分方程微积分的研究对象是函数，因此如何寻找建立函数关系具有重要意义. 在许多实际问题中往往很难直接得到所研究的变量之间的函数关系，但经过适当数据分析处理和简化后，能够建立起关于未知函数的导数或微分的关系式，这种关系式就是微分方程. 例如，物体的冷却、人口的增长、病毒的扩散、新产品销售等都可以归结成微分方程的问题. 通过研究，用一定的方法找出满足方程的未知函数的过程，就称为解微分方程. 求解微分方程即可得到各变量间的函数关系，从而认知实际问题的规律，所以微分方程是数学联系实际，并应用于实际的重要途径和桥梁，是各学科进行科学研究的工具. 微分方程是一门独立的数学分支，有完整的理论体系，考虑到微分方程与微积分密切相关且在实际中有广泛应用，本书受篇幅限制，仅简单介绍微分方程的基本概念、几种常见的简单微分方程的解法，以及微分方程在实际中的简单应用. 此外，在自然科学、工程技术和社会现象中，很多数据都是按等时间间隔周期统计的，因此有关变量的取值是离散化的，如何寻求它们之间的关系和变化规律呢？差分方程是研究这类离散型数据的有力工具，基于应用的需要，在本章*后一节将简单介绍差分方程的概念、几种简单差分方程的解法及其在经济学中的简单应用. 6.1 微分方程的基本概念 6.1.1 引例例6.1.1 一曲线过点(1， 2)，且在该曲线上的任意点M(x， y)处的切线的斜率为2x，求该曲线的方程. 解设所求曲线的方程为y=y(x)，根据导数的几何意义，可知未知函数y=y(x)应满足如下关系：（6.1.1）又因曲线y=y(x)过点(1， 2)，故y=y(x)应满足条件： y(1)=2 （6.1.2）为求满足式（6.1.1）的未知函数y=y(x)，将式（6.1.1）两边积分，得即 y=x2+C (C为任意常数) 将条件（6.1.2）代入上式得C=1，于是所求曲线方程为 y=x2+1 式（6.1.1）就是一个微分方程. 例6.1.2 假设某人以本金p0进行一项投资，投资的年利率为r，以连续复利计，求t年后资金的总额. 解设t时刻（以年为单位）的资金总额为p(t)，且资金没有取出也没有新的投入，则 t时刻资金总额的变化率=t时刻资金总额获得的利息即（6.1.3）显然，未知函数p(t)满足下列条件：当t=0时，p(t)=p0，记为求满足微分方程（6.1.3）的函数p(t)的一般方法将在下一节介绍，根据条件解出p=p(t)，就可得到t年后资金的总额. 6.1.2 基本概念一般说来，微分方程就是联系自变量、未知函数与未知函数的导数或微分之间的关系式. 若其中的未知函数是一元函数，则称该微分方程为常微分方程；若未知函数是多元函数，并且在方程中出现偏导数，则称该微分方程为偏微分方程. 本书所介绍的都是常微分方程，有时就简称微分方程或方程. 在一个常微分方程中，未知函数*高阶导数的阶数，称为方程的阶. 例如，=2x是一阶微分方程，y″+2y+x=0是二阶微分方程，+x3(y″)2-4xy′=9x2是三阶微分方程等. 一阶常微分方程的一般形式可表示为 F(x， y， y′)=0 （6.1.4）如果在式（6.1.4）中能将y′解出，那么得到方程（6.1.5）（6.1.6）式（6.1.4）称为一阶隐式方程，式（6.1.5）称为一阶显式方程，式（6.1.6）称为微分形式的一阶方程. n阶隐式方程的一般形式为（6.1.7）如果能从方程（6.1.7）中解出*高阶导数，就得到微分方程 y(n)=f(x， y， y′，， y(n-1)）（6.1.8）如果方程（6.1.7）可表示为如下形式：（6.1.9）那么称方程（6.1.9）为n阶线性微分方程. 其中a1(x)， a2(x)，， an(x)和f(x)均为自变量x的已知函数. 不能表示为形如式（6.1.9）的微分方程，统称为非线性方程. 例如：（1）方程2x+y=x2中含有的和y都是一次的，故该方程是二阶线性微分方程；（2）方程2+=x2+y中含有的平方项，故该方程是二阶非线性微分方程；（3）方程siny+ey=x+1中含有非线性函数sin和ey，故该方程是三阶非线性微分方程. 6.1.3 微分方程的解微分方程的解就是满足方程的函数，可定义如下. 定义6.1.1 设函数y=φ(x)在区间I上有n阶连续导数，若在区间I上，有，则称函数y=φ(x)为微分方程（6.1.7）在区间I上的解. 这样，从定义6.1.1可以直接验证：（1）函数y=x2+C是方程=2x在区间(-∞， +∞)内的解，其中C为任意常数. （2）函数y=sin(arcsinx+C)是方程=在区间(-1， 1)内的解，其中C为任意常数. 又该方程有两个明显的常数解y =±1，这两个解不包含在上述解中. （3）函数y=C1cosx+C2sinx是方程y″+y=0在区间(-∞， +∞)内的解，其中C1和C2为独立的任意常数. （4）函数y2=C1x+C2是方程yy″+y′2=0在区间(-∞， +∞)内的解，其中C1和C2为独立的任意常数. 这里仅验证（3），其余留给读者完成. 事实上，在(-∞， +∞)内有，所以在(-∞， +∞)内有 y″+y=0 从而该函数是方程y″+y=0的解. 从上面的讨论中可以看到一个重要事实，那就是微分方程的解中可以包含任意常数，其中任意常数的个数可以多到与方程的阶数相等，也可以不含任意常数. 一般地，微分方程的不含有任意常数的解称为微分方程的特解；含有相互独立的任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相等的解称为微分方程的通解（一般解）. 通解的意思是指，当其中的任意常数取遍所有实数时，就可以得到微分方程的所有解（至多有个别例外）. 注这里所说的相互独立的任意常数，是指它们不能通过合并而使得通解中的任意常数的个数减少. 由上面的定义不难看出，函数y=x2+C，y=sin(arcsinx+C)，y=C1cosx+C2sinx分别是对应方程的通解，而函数y=±1是方程=的特解. 许多实际问题都需要寻求满足某些附加条件的解，而这些附加条件可以用来确定通解中的任意常数. 例如，例6.1.1中根据曲线过点(1， 2)这个附加条件可确定C=1，从而得到问题的特解为y=x2+1. 这类附加条件称为初始条件，也称定解条件. 设微分方程中的未知函数为y=y(x)，若微分方程是一阶的，初始条件是x=x0，则（6.1.10）其中x0， y0都是给定的值. 若微分方程是二阶的，初始条件是x=x0，则（6.1.11）其中x 0， y0， y1都是给定的值. 求微分方程满足初值条件的特解的问题称为微分方程的初值问题. 例6.1.1中，所求曲线方程y=x2+1就是初值问题的解. 对于一阶方程，若已求出通解y=φ(x， C)，只要将初值条件y(x0)=y0代入通解中，得到方程.从中解出C，设为C0，代入通解，即得满足初值条件的解y=φ(x， C0). 为了便于研究方程解的性质，常常考虑解的图像. 一阶方程（6.1.5）的一个特解y=φ(x)的图像是xOy平面上的一条曲线，称为方程（6.1.5）的积分曲线，而通解y=φ(x， C)的图像是平面上的一族曲线，称为积分曲线族. 例如：方程（6.1.1）的通解y=x2+C是xOy平面上的一族抛物线；而y=x2是过点(0， 0)的一条积分曲线. 例6.1.3 设一物体的温度为100℃，将其放置在空气温度为20℃的环境中冷却. 根据冷却定律：物体温度的变化率与物体和当时空气温度之差成正比，设物体的温度T与时间t的函数关系为T=T(t)，则可建立起函数T(t)满足的微分方程：其中k(k>0)为比例常数. 这就是物体冷却的数学模型. 根据题意，T=T(t)还需满足条件例6.1.4 设某商品在t时刻的售价为P，该商品的需求量和供给量分别是P的函数D(P)， S(P)，则在t时刻的价格P(t)对于时间t的变化率可认为与该商品在同时刻的超额需求量D(P)-S(P)成正比，即有微分方程 =k[D(P)-S(P)] (k>0) 在D(P)和S(P)确定情况下，可解出价格与t的函数关系，这就是商品的价格调整模型. 例6.1.5 试指出下列方程是什么方程，并指出微分方程的阶数：（1）；（2）；（3）；（4）. 解（1）是一阶线性微分方程，因方程中含有的和y都是一次方. （2）是一阶非线性微分方程，因方程中含有的平方项. （3）是二阶非线性微分方程，因方程中含有的三次方. （4）是二阶非线性微分方程，因方程中含有非线性函数和. 例6.1.6 求曲线族x2+Cy2=1满足的微分方程，其中C为任意常数. 解求曲线族所满足的方程，就是求一微分方程，使所给的曲线族正好是该微分方程的积分曲线族. 因此所求微分方程的阶数应与已知曲线族中的任意常数的个数相等. 这里，通过消去任意常数的方法来得到所求的微分方程. 等式x2+Cy2=1两边对x求导得再从x2+Cy2=1解出C=，代入上式得 2x+2yy′=0 化简即得到所求微分方程 xy+(1-x2)y′=0 例6.1.7 验证函数y=(x2+C)sinx（C为任意常数）是方程的通解，并求满足初始条件的特解. 解要验证一个函数是否是方程的通解，只要将函数代入方程，看是否恒等，再看函数式中所含独立的任意常数的个数是否与方程的阶数相同. 将y=(x2+C)sinx求一阶导数，得将y和代入方程左边得因方程两边恒等，且y中含有一个任意常数，故y=(x2+C)sinx是题设方程的通解. 将初始条件代入通解y=(x2+C)sinx中得则从而所求特解为

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