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矩阵论 内容简介
教材的主要内容包括：线性空间与线性变换、子空间、基底、维数、基底变换及线性变换的矩阵；内积空间与向量范数、矩阵范数；矩阵Jordan分解、矩阵级数、矩阵函数与函数矩阵的微积分；矩阵三角分解、UR分解、满秩分解、奇异值分解与矩阵谱分解；Hermite矩阵、非负矩阵；Moore-Penrose逆；*小二乘方法等核心基础知识；同时，每章开始给出与本章内容相关的"介绍性实例"及历史发展进程，针对相应知识点给出几何及工程实际应用案例，其中工程实际应用案例主要以不同应用领域的具体问题为驱动，利用相关基本知识进行建模与分析，提供应用矩阵论知识解决实际问题的思想，并对重点问题给出具体MATLAB算例；习题部分设置一定数量的实际应用问题，可以扩展和加深矩阵论知识的理解与应用。
矩阵论 目录
目录
第1章 线性空间 1
1.1 预备知识 1
1.1.1 映射 1
1.1.2 乘积映射 2
1.1.3 逆映射 2
1.1.4 数域 3
1.1.5 实矩阵和复矩阵 4
1.2 线性空间的概念 7
1.2.1 线性空间的定义及性质 7
1.2.2 线性相关、基、维数与坐标 10
1.3 线性子空间 18
1.3.1 线性子空间的概念 18
1.3.2 子空间的交与和 22
1.3.3 线性空间的同构 27
1.4 内积空间 28
1.4.1 内积空间的基本概念与性质 29
1.4.2 内积在基下的矩阵 30
1.5 标准正交基与向量的正交化 32
1.5.1 向量的度量性质 32
1.5.2 标准正交基 34
1.5.3 向量的正交化 34
1.6 正交子空间 36
1.6.1 子空间的正交 36
1.6.2 正交补空间 37
1.6.3 向量到子空间的距离 39
习题1 40
第2章 线性映射与线性变换 44
2.1 线性映射与线性变换的概念 44
2.1.1 线性映射与线性变换的定义及性质 44
2.1.2 线性映射的矩阵刻画 47
2.1.3 线性映射的核与值域 54
2.2 线性变换的不变子空间 57
2.3 酉（正交）变换与正交投影 59
2.3.1 酉（正交）变换 59
2.3.2 正交投影 61
习题2 62
第3章 方阵的相似标准形 65
3.1 单纯矩阵 65
3.1.1 方阵的特征值与特征向量 65
3.1.2 单纯矩阵的对角化 68
3.1.3 正规矩阵及其对角化 73
3.2 Hermite矩阵与Hermite二次型 78
3.2.1 Hermite矩阵和Hermite二次型的概念 78
3.2.2 Hermite矩阵的广义特征值 87
3.3 λ-矩阵 88
3.3.1 λ-矩阵的定义和初等变换 89
3.3.2 λ-矩阵的行列式因子、不变因子 90
3.3.3 初等因子 95
3.4 方阵的Jordan标准形 97
3.4.1 Jordan标准形的定义 97
3.4.2 Jordan标准形的计算 98
习题3 106
第4章 矩阵分解 109
4.1 矩阵的三角分解 109
4.2 矩阵的满秩分解 114
4.3 矩阵的UR分解 117
4.4 矩阵的奇异值分解 118
4.5 单纯矩阵的谱分解 125
习题4 132
第5章 矩阵函数 135
5.1 向量范数 135
5.1.1 向量范数的概念与性质 135
5.1.2 Cn上的常用范数 138
5.1.3 向量范数的等价性1405.2矩阵范数 142
5.2.1 Cn×n上的矩阵范数 142
5.2.2 F-范数的性质 144
5.2.3 矩阵范数的性质 146
5.3 矩阵范数与向量范数的相容性 147
5.3.1 与已知矩阵范数相容的向量范数 147
5.3.2 由已知向量范数生成的与其相容的矩阵范数（算子范数） 148
5.4 矩阵序列 154
5.4.1 矩阵序列和极限 154
5.4.2 收敛矩阵序列的性质 156
5.5 矩阵幂级数 163
5.5.1 矩阵级数的概念 163
5.5.2 矩阵级数的性质 166
5.5.3 矩阵幂级数 168
5.6 矩阵多项式 172
5.6.1 矩阵的化零多项式 172
5.6.2 矩阵的*小多项式 175
5.7 矩阵函数的定义及计算 179
5.7.1 矩阵函数的幂级数定义 180
5.7.2 矩阵函数的计算 183
习题5 191
第6章 矩阵微积分 195
6.1 矩阵的Kronecker积 195
6.1.1 Kronecker积的概念与性质 195
6.1.2 Kronecker积的特征值与特征向量 197
6.2 函数矩阵的微分 200
6.2.1 函数矩阵对变量的导数 201
6.2.2 数量值函数对矩阵变量的导数 205
6.2.3 矩阵值函数对矩阵变量的导数与微分 208
6.3 函数矩阵的积分 213
6.3.1 函数矩阵的连续性 213
6.3.2 矩阵函数积分的定义 214
6.4 矩阵微分方程的求解 217
习题6 224
符号索引 226
名词索引 230
第1章 线性空间 1
1.1 预备知识 1
1.1.1 映射 1
1.1.2 乘积映射 2
1.1.3 逆映射 2
1.1.4 数域 3
1.1.5 实矩阵和复矩阵 4
1.2 线性空间的概念 7
1.2.1 线性空间的定义及性质 7
1.2.2 线性相关、基、维数与坐标 10
1.3 线性子空间 18
1.3.1 线性子空间的概念 18
1.3.2 子空间的交与和 22
1.3.3 线性空间的同构 27
1.4 内积空间 28
1.4.1 内积空间的基本概念与性质 29
1.4.2 内积在基下的矩阵 30
1.5 标准正交基与向量的正交化 32
1.5.1 向量的度量性质 32
1.5.2 标准正交基 34
1.5.3 向量的正交化 34
1.6 正交子空间 36
1.6.1 子空间的正交 36
1.6.2 正交补空间 37
1.6.3 向量到子空间的距离 39
习题1 40
第2章 线性映射与线性变换 44
2.1 线性映射与线性变换的概念 44
2.1.1 线性映射与线性变换的定义及性质 44
2.1.2 线性映射的矩阵刻画 47
2.1.3 线性映射的核与值域 54
2.2 线性变换的不变子空间 57
2.3 酉（正交）变换与正交投影 59
2.3.1 酉（正交）变换 59
2.3.2 正交投影 61
习题2 62
第3章 方阵的相似标准形 65
3.1 单纯矩阵 65
3.1.1 方阵的特征值与特征向量 65
3.1.2 单纯矩阵的对角化 68
3.1.3 正规矩阵及其对角化 73
3.2 Hermite矩阵与Hermite二次型 78
3.2.1 Hermite矩阵和Hermite二次型的概念 78
3.2.2 Hermite矩阵的广义特征值 87
3.3 λ-矩阵 88
3.3.1 λ-矩阵的定义和初等变换 89
3.3.2 λ-矩阵的行列式因子、不变因子 90
3.3.3 初等因子 95
3.4 方阵的Jordan标准形 97
3.4.1 Jordan标准形的定义 97
3.4.2 Jordan标准形的计算 98
习题3 106
第4章 矩阵分解 109
4.1 矩阵的三角分解 109
4.2 矩阵的满秩分解 114
4.3 矩阵的UR分解 117
4.4 矩阵的奇异值分解 118
4.5 单纯矩阵的谱分解 125
习题4 132
第5章 矩阵函数 135
5.1 向量范数 135
5.1.1 向量范数的概念与性质 135
5.1.2 Cn上的常用范数 138
5.1.3 向量范数的等价性1405.2矩阵范数 142
5.2.1 Cn×n上的矩阵范数 142
5.2.2 F-范数的性质 144
5.2.3 矩阵范数的性质 146
5.3 矩阵范数与向量范数的相容性 147
5.3.1 与已知矩阵范数相容的向量范数 147
5.3.2 由已知向量范数生成的与其相容的矩阵范数（算子范数） 148
5.4 矩阵序列 154
5.4.1 矩阵序列和极限 154
5.4.2 收敛矩阵序列的性质 156
5.5 矩阵幂级数 163
5.5.1 矩阵级数的概念 163
5.5.2 矩阵级数的性质 166
5.5.3 矩阵幂级数 168
5.6 矩阵多项式 172
5.6.1 矩阵的化零多项式 172
5.6.2 矩阵的*小多项式 175
5.7 矩阵函数的定义及计算 179
5.7.1 矩阵函数的幂级数定义 180
5.7.2 矩阵函数的计算 183
习题5 191
第6章 矩阵微积分 195
6.1 矩阵的Kronecker积 195
6.1.1 Kronecker积的概念与性质 195
6.1.2 Kronecker积的特征值与特征向量 197
6.2 函数矩阵的微分 200
6.2.1 函数矩阵对变量的导数 201
6.2.2 数量值函数对矩阵变量的导数 205
6.2.3 矩阵值函数对矩阵变量的导数与微分 208
6.3 函数矩阵的积分 213
6.3.1 函数矩阵的连续性 213
6.3.2 矩阵函数积分的定义 214
6.4 矩阵微分方程的求解 217
习题6 224
符号索引 226
名词索引 230
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矩阵论 节选
第1章线性空间 线性空间是矩阵论*基本的概念之一，它是研究客观世界中线性问题的重要工具。本章将从线性空间的基本概念入手，给出线性空间的相关理论。 1.1预备知识 1.1.1映射 定义1 设X，Y是两个非空集合，如果存在一个法则f，使得对X中每个元素x，按对应法则f，在Y中有唯一确定的元素y与之对应，则称f为从X到Y的映射，记作 其中y称为元素x（在映射f下）的像，并记作f（x），即 而元素x称为元素y（在映射f下）的一个原像；集合X称为映射f的定义域，记作Df，即Df=X；X中所有元素的像所组成的集合称为映射f的值域，记作Rf或f（X），即 映射定义中有两个基本要素:定义域Df=X和对应法则f。定义域表示映射存在的范围；对应法则是原像与像之间的对应方法，是映射的具体表现。因此，若两个映射f与g的定义域相同，对应法则也相同，则称映射f与g相等，记作f=g。一般要证明两个映射f与g相等，只需证出以下两点即可。 （1）定义域相同，即Df=D9g； （2）对应法则相同，即对，有f（x）=g（x）。 例1 设A为某大学某班全体学生构成的集合，设每位学生的学号均由一个8位正整数构成；B为正整数集合，φ为将学生对应到自己的学号，按照定义，φ就是一个从A到B的映射。 例2 设集合A由两个红球和一个黑球构成，即A=f红1球，红2球，黑球g，集合B由一个红筐和一个黑筐构成，即B=f红筐，黑筐g，f表示将集合A中的球对应到集合B中相同颜色的筐中，按照定义，f就是一个从A到B的映射。 从以上两个例题中可以看出，例1中两个不同的学生对应的学号也不同，即不同的原像对应着不同的像，例2中两个不同的球，红1球和红2球对应着B中同一个筐，即有两个不同的原像对应了同一个像。一般地，若映射f满足“不同的原像一定对应着不同的像”，则称f为单射。因此，例1中映射φ为单射，而例2中的映射f不是单射。 例1中集合B中有的8位正整数由映射φ能够在集合A中对应原像，还有很多集合B中的正整数不能在集合A中对应原像。例2中集合B中每个元素，由对应法则f都能在集合A中找到原像，或者说值域充满了集合B，这样的映射f称为满射。一般地，若映射f:X!Y满足Rf=Y，则映射f称为满射。 既是单射，又是满射的映射称为双射（也称为一一映射）。 1.1.2乘积映射 设X，U，Y是3个非空集合，有映射与，由映射，对与x对应，再由映射（其中，表示“存在唯一的”）。 综上，对与x对应，这个对应关系，构成了一个从X到Y的新映射，称这个新映射为f与g的乘积映射（也称为g与f的复合映射），记作，即 其中称为中间元素。 由乘积映射的定义易见，对于两个映射f与g，当且仅当时，才能作乘积映射fg（g与f才能作复合映射）。当有意义时，不一定有意义，反之，当有意义时，也不一定有意义；当它们都有意义时与也不一定相等，即映射的乘法运算不满足交换律。 映射的乘积虽然不满足交换律，但满足结合律。若f，g与h是3个映射，且运算与均有意义，则有成立。 读者可以将乘积映射（复合映射）的概念推广到3个或3个以上映射相乘（复合）。 1.1.3逆映射 设X是非空集合，若映射将集合X中的每个元素映成这个元素本身，则称映射f为集合X上的单位映射（也称恒等映射），记作IX。 设X，Y是两个非空集合，设有映射，若存在映射使且成立，则称f是可逆映射，且称g为f的逆映射，记作。 由逆映射的定义易见，若映射将集合X中的元素a映成集合Y中的b，则必定将集合Y中的元素b映成集合X中的a。 定理1 映射可逆的充分必要条件为f是一一映射。 证明略。 1.1.4数域 定义2 设F是复数集的非空子集，其中，如果F中任意两个数的和、差、积、商（除数不为0）仍是F中的数，则称F为数域。 若数集P中任意两个数作某一运算的结果都仍在P中，我们称数集P对这个运算是封闭的，因此数域的定义也可以理解成:如果数集P包含0和1，且对加法、减法、乘法和除法（除数不为0）均封闭，那么数集P就是一个数域。 我们常用的数域有:有理数域Q、实数域R、复数域C。自然数集N和整数集Z对除法运算不封闭，不能构成数域。 例3 证明集合构成数域。 证明 显然是复数集的非空子集，其中。 *后指出数域的一个重要性质:有理数域是任何数域的子集。事实上，设P是一个数域，由定义，12P，再由P对加法封闭，则1+1=2，2+1=3，均属于P，即P包含全体自然数；又由，P对减法封闭，则，即P包含全体整数；再由任何一个有理数可以表示成两个整数的商及P对除法的封闭性可得，任何有理数均属于P，上述结论正确。 1.1.5实矩阵和复矩阵 在大学本科阶段的线性代数课程中，我们学习的矩阵一般是定义在实数域上的矩阵，本书后面一些章节中讨论的矩阵是定义在复数域上的矩阵，下面我们来讨论实矩阵和复矩阵的一些相同点和差异。 具有如下性质: （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） 只有1行的实矩阵，称为（实）行向量，只有1列的实矩阵，称为（实）列向量。只有1行的复矩阵，称为（复）行向量，只有1列的复矩阵，称为（复）列向量。 对列向量 且满足以下结论： （1）若A为对称阵，则仍为对称阵，当A可逆时，仍为对称阵。 （1）若A为Hermite阵，则，AT，An仍为Hermite阵，当A可逆时，A-1仍为Hermite阵。 （2）若A，B均为对称阵，则k1A+k2B仍为对称阵。其中k1，k2为常数。 （2）若A，B均为Hermite阵，则k1A+k2B仍为Hermite阵，其中k1，k2为常数。 （3）任何一个方阵A均可写成一个对称阵M和一个反对称阵N之和，其中 （3）任何一个方阵A均可写成一个Hermite阵M和一个斜Hermite阵N之和，其中 （4）两个对称阵的乘积，不一定是对称阵。若A，B均为对称阵，则AB仍对称的充分必要条件为AB=BA。 （4）两个Hermite阵的乘积，不一定是Hermite阵。若A，B均为Hermite阵，则AB仍为Hermite阵的充分必要条件为AB=BA。 （5）对称阵的特征值必为实数，反对称阵的特征值为0或纯虚数；对称阵和反对称阵的不同特征值对应的特征向量是正交的；对称阵和反对称阵必能正交相似于对角阵。 （5）Hermite阵的特征值必为实数，斜Hermite阵的特征值为0或纯虚数；Hermite阵和斜Hermite阵的不同特征值对应的特征向量是正交的；Hermite阵和斜Hermite阵必能正交相似于对角阵。 若实方阵A满足ATA=E，则称A为正交矩阵，简称正交阵。 （1）正交阵A必可逆，且A-1=AT； （2）正交阵的行列式为1或-1； （3）若A为正交阵，则A-1，A+，AT，Ak仍为正交阵； （4）两个正交阵相乘仍为正交阵，相加未必； （5）若A为n阶正交阵，X，Y为n维列向量，则 即酉阵乘向量，不改变向量的长度和夹角； （6）正交阵的特征值是模长为1的复数； （7）A为正交阵，A列向量标准正交，A行向量标准正交。 若复方阵A满足AHA=E，则称A为酉矩阵，简称酉阵。 （1）酉阵A必可逆，且A-1=AH； （2）酉阵的行列式是模长为1的复数； （3）若A为酉阵，则A-1，A+，AT，Ak仍为酉阵； （4）两个酉阵相乘仍为酉阵，相加未必； 即正交阵乘向量，不改变向量的长度和夹角； （5）若A为n阶酉阵，X，Y为n维列向量，则 （6）酉阵的特征值是模长为1的复数； （7）A为酉阵，A列向量标准正交，A行向量标准正交。 设A，B为实方阵，若存在可逆阵P，使得B=PTAP成立，则称A与B合同，P称为由A到B的合同变换矩阵。 设A，B为复方阵，若存在可逆阵P，使得B=PHAP成立，则称A与B合同，P称为由A到B的合同变换矩阵。 设A，B为实方阵，若存在可逆阵P，使得B=P。1AP成立，则称A与B相似，P称为由A到B的相似变换矩阵。 设A，B为复方阵，若存在可逆阵P，使得B=P-1AP成立，则称A与B相似，P称为由A到B的相似变换矩阵。 设A，B为实方阵，若存在正交阵P，使得B=P-1AP=PTAP成立，则称A与B正交相似。正交相似既是相似变换，也是合同变换。 设A，B为复方阵，若存在正交阵P，使得B=P-1AP=PHAP成立，则称A与B酉相似。酉相似既是相似变换，也是合同变换。 在本科线性代数课程中，我们一般只对实矩阵讨论特征值、特征向量、相似对角化等问题。在本课程中对复方阵也同样讨论以上问题。设A为n阶复方阵，X为复n维非零列向量，λ是复数，若AX=λX成立，则称λ为矩阵A的特征值，X为矩阵A属于特征值λ的特征向量。称λE。。A为矩阵A的特征矩阵，为矩阵A的特征多项式，特征多项式的根就是矩阵A的特征值。复矩阵的特征值与特征向量的性质与计算，与实矩阵相同，这里就不多赘述了。 若方阵A能与对角阵相似，则称方阵A可对角化，或称方阵A为单纯矩阵。若复方阵A满足AAH=AHA，则称A为正规矩阵。显然，实矩阵中的对称阵、
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