¸ñµãÁ¿×ÓÉ«¶¯Á¦Ñ§µ¼ÂÛ-(Ó°Ó¡°æ)

1 the path integral on the lattice. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1 hilbert space and propagation in euclidean time . . . . . . . . . . . . 2
1.1.1 hilbert spaces. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.2 remarks on hilbert spaces in particle physics . . . . . . . . . 3
1.1.3 euclidean correlators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 the path integral for a quantum mechanical system. . . . . . . . . . 7
1.3 the path integral for a scalar field theory. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3.1 the klein-gordon field . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3.2 lattice regularization of the klein-gordon hamiltonian 11
1.3.3 the euclidean time transporter for the free case. . . . . . . 14
1.3.4 treating the interaction term with the trotter formula . 15
1.3.5 path integral representation for the partition function. . 16
1.3.6 including operators in the path integral . . . . . . . . . . . . . . 17
1.4 quantization with the path integral. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.4.1 different discretizations of the euclidean action . . . . . . . 19
1.4.2 the path integral as a quantization prescription . . . . . . . 20
1.4.3 the relation to statistical mechanics . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
references . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2 qcd on the lattice - a first look. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.1 the qcd action in the continuum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.1.1 quark and gluon fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.1.2 the fermionic part of the qcd action . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.1.3 gauge invariance of the fermion action . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.1.4 the gluon action . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.1.5 color components of the gauge field . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.2 naive discretization of fermions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.2.1 discretization of free fermions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.2.2 introduction of the gauge fields as link variables . . . . . . . 33
2.2.3 relating the link variables to the continuum gauge fields 34
2.3 the wilson gauge action . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.3.1 gauge-invariant objects built with link variables. . . . . . . 36
2.3.2 the gauge action . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.4 formal expression for the qcd lattice path integral . . . . . . . . . 39
2.4.1 the qcd lattice path integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
references . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3 pure gauge theory on the lattice. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.1 haar measure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.1.1 gauge field measure and gauge invariance . . . . . . . . . . . . 44
3.1.2 group integration measure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.1.3 a few integrals for su(3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.2 gauge invariance and gauge fixing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.2.1 maximal trees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.2.2 other gauges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.2.3 gauge invariance of observables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.3 wilson and polyakov loops . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.3.1 definition of the wilson loop . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.3.2 temporal gauge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.3.3 physical interpretation of the wilson loop . . . . . . . . . . . . 55
3.3.4 wilson line and the quark-antiquark pair. . . . . . . . . . . . . 57
3.3.5 polyakov loop. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.4 the static quark potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.4.1 strong coupling expansion of the wilson loop . . . . . . . . . 59
3.4.2 the coulomb part of the static quark potential . . . . . . . 62
3.4.3 physical implications of the static qcd potential. . . . . . 63
3.5 setting the scale with the static potential. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.5.1 discussion of numerical data for the static potential . . . 64
3.5.2 the sommer parameter and the lattice spacing. . . . . . . . 65
3.5.3 renormalization group and the running coupling . . . . . . 67
3.5.4 the true continuum limit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.6 lattice gauge theory with other gauge groups . . . . . . . . . . . . . . . 69
references . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4 numerical simulation of pure gauge theory . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.1 the monte carlo method. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
4.1.1 simple sampling and importance sampling . . . . . . . . . . . . 74
4.1.2 markov chains . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.1.3 metropolis algorithm - general idea. . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4.1.4 metropolis algorithm for wilson's gauge action. . . . . . . . 79
4.2 implementation of monte carlo algorithms for su(3) . . . . . . . . 80
4.2.1 representation of the link variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.2.2 boundary conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4.2.3 generating a candidate link for the metropolis update . 83
4.2.4 a few remarks on random numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
4.3 more monte carlo algorithms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
4.3.1 the heat bath algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.3.2 overrelaxation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
4.4 running the simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
4.4.1 initialization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
4.4.2 equilibration updates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
4.4.3 evaluation of the observables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
4.5 analyzing the data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
4.5.1 statistical analysis for uncorrelated data . . . . . . . . . . . . . 93
4.5.2 autocorrelation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
4.5.3 techniques for smaller data sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
4.5.4 some numerical exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
references . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
5 fermions on the lattice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
5.1 fermi statistics and grassmann numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
5.1.1 some new notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
5.1.2 fermi statistics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
5.1.3 grassmann numbers and derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
5.1.4 integrals over grassmann numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
5.1.5 gaussian integrals with grassmann numbers . . . . . . . . . . 108
5.1.6 wick's theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
5.2 fermion doubling and wilson's fermion action . . . . . . . . . . . . . . 110
5.2.1 the dirac operator on the lattice. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
5.2.2 the doubling problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
5.2.3 wilson fermions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
5.3 fermion lines and hopping expansion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
5.3.1 hopping expansion of the quark propagator. . . . . . . . . . . 114
5.3.2 hopping expansion for the fermion determinant . . . . . . . 117
5.4 discrete symmetries of the wilson action . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
5.4.1 charge conjugation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
5.4.2 parity and euclidean reflections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
5.4.3 ¦Ã 5 -hermiticity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
references . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
6 hadron spectroscopy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
6.1 hadron interpolators and correlators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
6.1.1 meson interpolators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
6.1.2 meson correlators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
6.1.3 interpolators and correlators for baryons . . . . . . . . . . . . . 129
6.1.4 momentum projection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
6.1.5 final formula for hadron correlators . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
6.1.6 the quenched approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
6.2 strategy of the calculation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
6.2.1 the need for quark sources . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
6.2.2 point source or extended source? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
6.2.3 extended sources . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
6.2.4 calculation of the quark propagator . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
6.2.5 exceptional configurations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
6.2.6 smoothing of gauge configurations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
6.3 extracting hadron masses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
6.3.1 effective mass curves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
6.3.2 fitting the correlators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
6.3.3 the calculation of excited states. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
6.4 finalizing the results for the hadron masses . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
6.4.1 discussion of some raw data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
6.4.2 setting the scale and the quark mass parameters . . . . . . 151
6.4.3 various extrapolations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
6.4.4 some quenched results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
references . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
7 chiral symmetry on the lattice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
7.1 chiral symmetry in continuum qcd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
7.1.1 chiral symmetry for a single flavor . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
7.1.2 several flavors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
7.1.3 spontaneous breaking of chiral symmetry. . . . . . . . . . . . . 160
7.2 chiral symmetry and the lattice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
7.2.1 wilson fermions and the nielsen-ninomiya theorem . . . 162
7.2.2 the ginsparg-wilson equation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
7.2.3 chiral symmetry on the lattice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
7.3 consequences of the ginsparg-wilson equation . . . . . . . . . . . . . 166
7.3.1 spectrum of the dirac operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
7.3.2 index theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
7.3.3 the axial anomaly. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
7.3.4 the chiral condensate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
7.3.5 the banks-casher relation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
7.4 the overlap operator. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
7.4.1 definition of the overlap operator. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
7.4.2 locality properties of chiral dirac operators . . . . . . . . . . 178
7.4.3 numerical evaluation of the overlap operator. . . . . . . . . . 179
references . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
8 dynamical fermions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
8.1 the many faces of the fermion determinant . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
8.1.1 the fermion determinant as observable . . . . . . . . . . . . . . . 186
8.1.2 the fermion determinant as a weight factor . . . . . . . . . . . 186
8.1.3 pseudofermions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
8.1.4 effective fermion action . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
8.1.5 first steps toward updating with fermions . . . . . . . . . . . . 189
8.2 hybrid monte carlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
8.2.1 molecular dynamics leapfrog evolution . . . . . . . . . . . . . . . 191
8.2.2 completing with an accept-reject step . . . . . . . . . . . . . . . 194
8.2.3 implementing hmc for gauge fields and fermions. . . . . . 195
8.3 other algorithmic ideas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
8.3.1 the r-algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
8.3.2 partial updates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
8.3.3 polynomial and rational hmc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
8.3.4 multi-pseudofermions and uv-filtering . . . . . . . . . . . . . . . 201
8.3.5 further developments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
8.4 other techniques using pseudofermions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
8.5 the coupling-mass phase diagram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
8.5.1 continuum limit and phase transitions . . . . . . . . . . . . . . . 205
8.5.2 the phase diagram for wilson fermions . . . . . . . . . . . . . . 206
8.5.3 ginsparg-wilson fermions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
8.6 full qcd calculations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
references . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
9 symanzik improvement and rg actions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
9.1 the symanzik improvement program . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
9.1.1 a toy example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
9.1.2 the framework for improving lattice qcd . . . . . . . . . . . . 215
9.1.3 improvement of interpolators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
9.1.4 determination of improvement coefficients . . . . . . . . . . . . 219
9.2 lattice actions for free fermions from rg transformations . . . . 221
9.2.1 integrating out the fields over hypercubes . . . . . . . . . . . . 222
9.2.2 the blocked lattice dirac operator. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
9.2.3 properties of the blocked action . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
9.3 real space renormalization group for qcd . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
9.3.1 blocking full qcd. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
9.3.2 the rg flow of the couplings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
9.3.3 saddle point analysis of the rg equation . . . . . . . . . . . . . 232
9.3.4 solving the rg equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
9.4 mapping continuum symmetries onto the lattice . . . . . . . . . . . . . 236
9.4.1 the generating functional and its symmetries . . . . . . . . . 236
9.4.2 identification of the corresponding lattice symmetries . . 238
references . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
10 more about lattice fermions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
10.1 staggered fermions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
10.1.1 the staggered transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
10.1.2 tastes of staggered fermions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
10.1.3 developments and open questions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
10.2 domain wall fermions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
10.2.1 formulation of lattice qcd with domain wall fermions . 250
10.2.2 the 5d theory and its equivalence to 4d chiral
fermions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
10.3 twisted mass fermions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
10.3.1 the basic formulation of twisted mass qcd . . . . . . . . . . 254
10.3.2 the relation between twisted and conventional qcd . . . 256
10.3.3 o(a) improvement at maximal twist . . . . . . . . . . . . . . . . . 258
10.4 effective theories for heavy quarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
10.4.1 the need for an effective theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
10.4.2 lattice action for heavy quarks. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
10.4.3 general framework and expansion coefficients . . . . . . . . . 263
references . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
11 hadron structure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
11.1 low-energy parameters. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
11.1.1 operator definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268
11.1.2 ward identities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270
11.1.3 naive currents and conserved currents on the lattice . . . 274
11.1.4 low-energy parameters from correlation functions . . . . . 278
11.2 renormalization. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279
11.2.1 why do we need renormalization? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279
11.2.2 renormalization with the rome-southampton method . 281
11.3 hadronic decays and scattering. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284
11.3.1 threshold region . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284
11.3.2 beyond the threshold region . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287
11.4 matrix elements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289
11.4.1 pion form factor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290
11.4.2 weak matrix elements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294
11.4.3 ope expansion and effective weak hamiltonian . . . . . . . 295
references . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297
12 temperature and chemical potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301
12.1 introduction of temperature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301
12.1.1 analysis of pure gauge theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303
12.1.2 switching on dynamical fermions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307
12.1.3 properties of qcd in the deconfinement phase . . . . . . . . 310
12.2 introduction of the chemical potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312
12.2.1 the chemical potential on the lattice. . . . . . . . . . . . . . . . . 312
12.2.2 the qcd phase diagram in the (t, ¦Ì) space . . . . . . . . . . 317
12.3 chemical potential: monte carlo techniques . . . . . . . . . . . . . . . . 318
12.3.1 reweighting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319
12.3.2 series expansion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321
12.3.3 imaginary ¦Ì . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321
12.3.4 canonical partition functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322
references . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323
a appendix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .327
a.1 the lie groups su(n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327
a.1.1 basic properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327
a.1.2 lie algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327
a.1.3 generators for su(2) and su(3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329
a.1.4 derivatives of group elements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329
a.2 gamma matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330
a.3 fourier transformation on the lattice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332
a.4 wilson's formulation of lattice qcd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333
a.5 a few formulas for matrix algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334
references . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336
index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337