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高等数学(上)(第二版) 版权信息
- ISBN：9787030726032
- 条形码：9787030726032 ; 978-7-03-072603-2
- 装帧：一般胶版纸
- 册数：暂无
- 重量：暂无
- 所属分类：>
高等数学(上)(第二版) 内容简介
本套书是依据教育部《经济管理类数学课程教学基本要求》，针对高等学校经济类、管理类各专业的教学实际编写的高等数学或微积分课程教材，分上、下两册。本书是上册，内容包括函数、极限与连续，导数与微分，微分中值定理与导数的应用，不定积分，定积分及其应用。每节后配有（A）、（B）两组习题，每章后配有总习题，（B）组习题为满足有较高要求的读者配备，题型丰富，梯度难度恰到好处。
高等数学(上)(第二版) 目录
目录
第1章 函数、极限与连续 1
1.1 函数 2
1.1.1 集合、区间与邻域 2
1.1.2 函数的概念 4
1.1.3 函数的特性 9
1.1.4 初等函数 11
1.1.5 常用经济函数 15
习题1.1 17
1.2 数列的极限 19
1.2.1 数列极限的定义 19
1.2.2 数列极限的性质 23
习题1.2 24
1.3 函数的极限 25
1.3.1 自变量绝对值无限增大时函数的极限 25
1.3.2 自变量趋于有限值时函数的极限 27
1.3.3 函数极限的性质 30
习题1.3 31
1.4 无穷小与无穷大 32
1.4.1 无穷小 32
1.4.2 无穷小的性质 33
1.4.3 无穷大 34
习题1.4 35
1.5 极限的运算法则 36
1.5.1 极限的四则运算法则 36
1.5.2 复合函数的极限运算法则 39
习题1.5 40
1.6 极限存在的准则及两个重要极限 40
1.6.1 极限存在的准则 41
1.6.2 两个重要极限 42
习题1.6 46
1.7 无穷小的比较 47
习题1.7 49
1.8 函数的连续性及间断点 50
1.8.1 函数连续性的概念 50
1.8.2 函数的间断点 53
1.8.3 初等函数的连续性 54
习题1.8 56
1.9 闭区间上连续函数的性质 57
1.9.1 *大值和*小值定理与有界性定理 57
1.9.2 零点定理与介值定理 58
习题1.9 60
小结 60
总习题1 67
第2章 导数与微分 71
2.1 导数的概念 72
2.1.1 引例 72
2.1.2 导数的定义 73
2.1.3 导数的几何意义 75
2.1.4 左、右导数 76
2.1.5 可导与连续的关系 76
习题2.1 78
2.2 导数的基本公式及运算法则 79
2.2.1 导数的四则运算法则 79
2.2.2 反函数的求导法则 81
2.2.3 基本初等函数的求导公式 82
2.2.4 复合函数的求导法则 82
习题2.2 84
2.3 隐函数和由参数方程所确定的函数的导数 85
2.3.1 隐函数的导数 85
2.3.2 对数求导法 87
2.3.3 参数方程表示的函数的导数 88
习题2.3 89
2.4 高阶导数 89
习题2.4 93
2.5 函数的微分 93
2.5.1 引例 94
2.5.2 微分的概念 94
2.5.3 函数可微的充要条件 95
2.5.4 微分的几何意义 96
2.5.5 微分的运算法则 96
2.5.6 微分在近似计算中的应用 97
习题2.5 98
2.6 边际与弹性 99
2.6.1 边际分析 99
2.6.2 弹性分析 101
习题2.6 103
小结 104
总习题2 106
第3章 微分中值定理与导数的应用 109
3.1 微分中值定理 110
3.1.1 罗尔中值定理 110
3.1.2 拉格朗日中值定理 111
3.1.3 柯西中值定理 114
习题3.1 115
3.2 洛必达法则 116
3.2.1 型未定式 116
3.2.2 型未定式 118
3.2.3 其他类型未定式 119
习题3.2 120
3.3 利用导数研究函数的性态 121
3.3.1 函数的单调性 121
3.3.2 函数的极值 124
3.3.3 曲线的凹凸性及拐点 127
3.3.4 曲线的渐近线 130
3.3.5 函数图形的描绘 131
习题3.3 133
3.4 函数的*值及其应用 135
3.4.1 函数的*值 135
3.4.2 *值在经济学中的应用 136
习题3.4 140
小结 142
总习题3 145
第4章 不定积分 149
4.1 不定积分的概念及性质 150
4.1.1 原函数 150
4.1.2 不定积分的定义 150
4.1.3 不定积分的几何意义 152
4.1.4 不定积分的性质 152
4.1.5 基本积分表 153
4.1.6 直接积分法 154
习题4.1 155
4.2 换元积分法 156
4.2.1 **类换元积分法 156
4.2.2 第二类换元积分法 160
习题4.2 163
4.3 分部积分法 165
习题4.3 167
4.4 有理函数的积分 168
习题4.4 171
小结 172
总习题4 173
第5章 定积分及其应用 175
5.1 定积分的概念 176
5.1.1 引例 176
5.1.2 定积分的定义 178
5.1.3 定积分的几何意义 180
习题5.1 181
5.2 定积分的性质 182
习题5.2 184
5.3 微积分基本公式 184
5.3.1 积分上限函数及其导数 185
5.3.2 微积分基本公式（牛顿-莱布尼茨公式） 186
习题5.3 188
5.4 定积分的计算 189
5.4.1 定积分的换元积分法 189
5.4.2 定积分的分部积分法 192
习题5.4 194
5.5 广义积分 195
5.5.1 无限区间上的广义积分 196
5.5.2 无界函数的广义积分 197
5.5.3 Γ函数 199
习题5.5 200
5.6 定积分的应用 201
5.6.1 微元法 201
5.6.2 平面图形的面积 203
5.6.3 体积 206
5.6.4 定积分在经济中的应用 208
习题5.6 210
小结 212
总习题5 213
参考答案 215
附录A 初等数学中的常用公式 234
附录B 积分表 239
第1章 函数、极限与连续 1
1.1 函数 2
1.1.1 集合、区间与邻域 2
1.1.2 函数的概念 4
1.1.3 函数的特性 9
1.1.4 初等函数 11
1.1.5 常用经济函数 15
习题1.1 17
1.2 数列的极限 19
1.2.1 数列极限的定义 19
1.2.2 数列极限的性质 23
习题1.2 24
1.3 函数的极限 25
1.3.1 自变量绝对值无限增大时函数的极限 25
1.3.2 自变量趋于有限值时函数的极限 27
1.3.3 函数极限的性质 30
习题1.3 31
1.4 无穷小与无穷大 32
1.4.1 无穷小 32
1.4.2 无穷小的性质 33
1.4.3 无穷大 34
习题1.4 35
1.5 极限的运算法则 36
1.5.1 极限的四则运算法则 36
1.5.2 复合函数的极限运算法则 39
习题1.5 40
1.6 极限存在的准则及两个重要极限 40
1.6.1 极限存在的准则 41
1.6.2 两个重要极限 42
习题1.6 46
1.7 无穷小的比较 47
习题1.7 49
1.8 函数的连续性及间断点 50
1.8.1 函数连续性的概念 50
1.8.2 函数的间断点 53
1.8.3 初等函数的连续性 54
习题1.8 56
1.9 闭区间上连续函数的性质 57
1.9.1 *大值和*小值定理与有界性定理 57
1.9.2 零点定理与介值定理 58
习题1.9 60
小结 60
总习题1 67
第2章 导数与微分 71
2.1 导数的概念 72
2.1.1 引例 72
2.1.2 导数的定义 73
2.1.3 导数的几何意义 75
2.1.4 左、右导数 76
2.1.5 可导与连续的关系 76
习题2.1 78
2.2 导数的基本公式及运算法则 79
2.2.1 导数的四则运算法则 79
2.2.2 反函数的求导法则 81
2.2.3 基本初等函数的求导公式 82
2.2.4 复合函数的求导法则 82
习题2.2 84
2.3 隐函数和由参数方程所确定的函数的导数 85
2.3.1 隐函数的导数 85
2.3.2 对数求导法 87
2.3.3 参数方程表示的函数的导数 88
习题2.3 89
2.4 高阶导数 89
习题2.4 93
2.5 函数的微分 93
2.5.1 引例 94
2.5.2 微分的概念 94
2.5.3 函数可微的充要条件 95
2.5.4 微分的几何意义 96
2.5.5 微分的运算法则 96
2.5.6 微分在近似计算中的应用 97
习题2.5 98
2.6 边际与弹性 99
2.6.1 边际分析 99
2.6.2 弹性分析 101
习题2.6 103
小结 104
总习题2 106
第3章 微分中值定理与导数的应用 109
3.1 微分中值定理 110
3.1.1 罗尔中值定理 110
3.1.2 拉格朗日中值定理 111
3.1.3 柯西中值定理 114
习题3.1 115
3.2 洛必达法则 116
3.2.1 型未定式 116
3.2.2 型未定式 118
3.2.3 其他类型未定式 119
习题3.2 120
3.3 利用导数研究函数的性态 121
3.3.1 函数的单调性 121
3.3.2 函数的极值 124
3.3.3 曲线的凹凸性及拐点 127
3.3.4 曲线的渐近线 130
3.3.5 函数图形的描绘 131
习题3.3 133
3.4 函数的*值及其应用 135
3.4.1 函数的*值 135
3.4.2 *值在经济学中的应用 136
习题3.4 140
小结 142
总习题3 145
第4章 不定积分 149
4.1 不定积分的概念及性质 150
4.1.1 原函数 150
4.1.2 不定积分的定义 150
4.1.3 不定积分的几何意义 152
4.1.4 不定积分的性质 152
4.1.5 基本积分表 153
4.1.6 直接积分法 154
习题4.1 155
4.2 换元积分法 156
4.2.1 **类换元积分法 156
4.2.2 第二类换元积分法 160
习题4.2 163
4.3 分部积分法 165
习题4.3 167
4.4 有理函数的积分 168
习题4.4 171
小结 172
总习题4 173
第5章 定积分及其应用 175
5.1 定积分的概念 176
5.1.1 引例 176
5.1.2 定积分的定义 178
5.1.3 定积分的几何意义 180
习题5.1 181
5.2 定积分的性质 182
习题5.2 184
5.3 微积分基本公式 184
5.3.1 积分上限函数及其导数 185
5.3.2 微积分基本公式（牛顿-莱布尼茨公式） 186
习题5.3 188
5.4 定积分的计算 189
5.4.1 定积分的换元积分法 189
5.4.2 定积分的分部积分法 192
习题5.4 194
5.5 广义积分 195
5.5.1 无限区间上的广义积分 196
5.5.2 无界函数的广义积分 197
5.5.3 Γ函数 199
习题5.5 200
5.6 定积分的应用 201
5.6.1 微元法 201
5.6.2 平面图形的面积 203
5.6.3 体积 206
5.6.4 定积分在经济中的应用 208
习题5.6 210
小结 212
总习题5 213
参考答案 215
附录A 初等数学中的常用公式 234
附录B 积分表 239
展开全部
高等数学(上)(第二版) 节选
第1章 函数、极限与连续 由于社会经济和科学技术发展的需要，数学在经历数千年的发展之后进入了从形的研究向数的研究的新时代，由常量数学发展为变量数学，微积分的创立是这一时期*突出的成就之一.微积分研究的基本对象是定义在实数集上的函数. 极限是研究函数的基本方法，连续函数则是函数的一种重要属性，因而本章是整个微积分学的基础.本章主要介绍函数的概念及其基本性质、数列和函数的极限及其基本性质、连续函数的概念及其基本性质，为进一步学好微积分打下一个良好的基础. 1.1 函数 1.1.1 集合、区间与邻域 1.集合 自从德国数学家康托尔（Cantor）于19世纪末创立集合论以来，集合论的概念和方法已渗透到数学的各个分支，成为现代数学的基础和语言.集合是数学中的一个*基本的概念，它在现代数学和工程技术中有着非常重要的作用.一般地，具有某种特定性质的对象的全体称为集合.组成这个集合的对象称为该集合的元素.例如：某人通讯录好友的全体组成一个集合，其中每一个好友为该集合的一个元素；整数的全体组成整数集合，每个整数是它的元素等. 习惯上，用大写的英文字母A，B，C， 表示集合，用小写的英文字母a，b，c， 表示集合的元素.若a是集合A的元素，则称a属于A，记为a∈A；否则称a不属于A，记为aA（或aA）.含有有限个元素的集合称为有限集；由无限个元素组成的集合称为无限集；不含任何元素的集合称为空集，用表示.例如，某人通讯录好友的全体组成的集合是有限集；全体整数组成的集合是无限集；方程的实根组成的集合是空集. 元素都是数的集合称为数集.全体自然数组成的集合称为自然数集，记为N；全体整数组成的集合称为整数集，记为Z；全体有理数组成的集合称为有理数集，记为Q；全体实数组成的集合称为实数集，记为R.如无特别说明，本书中提到的数都是实数. 集合的表示方法主要有列举法和描述法.列举法是将集合的元素一一列举出来，写在一对花括号内，如.描述法是在花括号内指明集合中元素所具有的性质，即将具有某种性质特征的元素x所组成的集合A记为.例如，由方程x2－5x+4=0的根构成的集合，可记为. 设A，B是两个集合，若A的每个元素都是B的元素，则称A是B的子集，记为（或），读为A被B包含（或B包含A）；若，且有元素，但，则称A是B的真子集，记为.例如，NZQR. 注 规定空集为任何集合的子集，即对任何集A，若，且，则称集合A与集合B相等，记为.例如，设，则. 由属于A或属于B的所有元素组成的集合称为A与B的并集，记为，即由同时属于A与B的元素组成的集合称为A与B的交集，记为，即由属于A但不属于B的元素组成的集合称为A与B的差集，记为A\B(或A-B)，即两个集合的并集、交集、差集如图1.1.1阴影部分所示. 图1.1.1 在研究某个问题时，如果所考虑的一切集合都是某个集合S的子集，则称S为基本集或全集. S中的任何集合A关于S的差集称为A的补集（或余集），记为. 集合运算具有下列性质： （1）交换律； （2）结合律； （3）分配律； （4）对偶律 . 2.区间 区间是用得较多的一类数集.设a和b都是实数，且a 以上四种区间的长度都是有限的，因此统称为有限区间.称a为区间的左端点，b为区间的右端点，数称为区间长度.此外还有无限区间，如这里记号“-∞”和“+∞”分别表示“负无穷大”和“正无穷大”. 3.邻域 邻域也是常用的一类数集，是微积分学中经常用到的一个概念. 设a是一个给定的实数，δ（通常是很小的正数）是某一正数，称数集为点a的δ邻域，记为，即 其中称点a为该邻域的中心，δ为邻域的半径.在数轴上表示以a为中心、长度为2δ的对称开区间，如图1.1.2所示. 图1.1.2 若将邻域的中心去掉，所得到的数集称为点a的去心δ邻域，记为，即称区间为点a的左δ邻域，区间为点a的右δ邻域. 注不等式意味着，即更一般地，以a为中心的任何开区间均是点a的邻域，当不需要特别指明邻域的半径时，可简记为. 1.1.2 函数的概念 1.函数的定义 在自然现象或工程技术中，常常会遇到各种各样的量，如几何中的长度、面积、体积和经济学中的产量、成本、利润等.在某个过程中，保持不变的量称为常量，取不同值的量称为变量.例如：圆周率π是永远不变的量，它是常量；某商品的价格在一定的时间段内是不变的，所以在这段时间内它也是常量；一天中的气温、工厂在生产过程中的产量都是不断变化的量，这些都是变量.又如，北京时间2021年10月16日0时23分，搭载神舟十三号载人飞船的长征二号F遥十三运载火箭点火发射，神舟十三号载人飞船与火箭成功分离，进入预定轨道，顺利将翟志刚、王亚平、叶光富三名航天员送入太空，飞行乘组状态良好，发射取得圆满成功.火箭飞行过程中，其重力加速度随着火箭离地面高度的增加而减小，是不断变化的，所以它是变量. 一般地，在一个问题中往往同时有几个变量在变化着，而且这些变量并非孤立在变，而是相互联系、相互制约的.这些变量之间相互依赖的关系刻画了客观世界中事物变化的内在规律，函数就是描述变量间相互依赖关系的一种数学模型. 定义1.1.1 设D是一个给定的非空数集，若对任意，按照对应法则，都有唯一确定的与之对应，则称为定义在D上的一个一元函数，简称函数，记为，其中数集D称为函数的定义域，记为，x为自变量，y为因变量. 若将函数视为一个机器，它将输入值x作为它的原料，将输出值作为它的产品，如图1.1.3所示.每一个输入值都有唯一相对应的输出值，但是几个不同的输入值有可能输出相同的值. 对，按照对应法则f，总有确定的值（记为）与之对应，称为函数在点x0处的函数值.因变量与自变量的这种相依关系通常称为函数关系. 当自变量x遍取的所有数值时，对应的函数值的全体组成的集合称为函数f的值域，记为，即 注 函数概念的两个基本要素是定义域和对应法则.两个函数相等的充要条件是它们的定义域和对应法则都相同. 通常所说的定义域为使函数的表达式有意义的一切实数所构成的集合，即自变量的取值范围，这种定义域称为函数的自然定义域.在实际问题中，函数的定义域应根据问题的实际意义来确定. 从几何上看，在平面直角坐标系中，点集称为函数的图像.函数的图像通常是一条曲线，也称为这条曲线的方程.这样，函数的一些特性常常可借助于几何直观来发现；反过来，一些几何问题也可借助于函数进行理论探讨. 例1.1.1 求函数的定义域. 解 要使数学式子有意义，x必须满足.即，因此函数的定义域为. 例1.1.2判断下面函数是否相同，并说明理由： （1）与； （2）与； （3）与 （4）与. 解（1）不相同.因为的定义域是，而的定义域是. （2）不相同.虽然与的定义域都是，但对应法则不同. （3）相同.虽然这两个函数的表现形式不同，但它们的定义域和对应法则均相同，所以这两个函数相同. （4）相同.虽然这两个函数的自变量和因变量所用的字母不同，但其定义域和对应法则均相同，所以这两个函数相同. 例1.1.3 设f(x)的定义域是[0，1]，求函数的定义域. 解 要使函数有定义，x必须满足 即 所以函数的定义域为. 2.常见的分段函数 在自变量的不同变化范围内，对应法则用不同数学式子来表示的函数称为分段函数.常见的分段函数有以下四种. 例1.1.4 绝对值函数的定义域是，值域是，如图1.1.4所示. 图1.1.4 图1.1.5 例1.1.5 符号函数的定义域是，值域是三个点的集合，如图1.1.5所示. 例1.1.6 *大取整函数，其中为不超过x的*大整数.例如，等.函数的定义域是，值域是整数集.一般地如图1.1.6所示. 例1.1.7 狄利克雷（Dirichlet）函数
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